Faktoriális azonosságok?

A faktoriális nem más, mint az addigi pozitív egészek szorzata. Tehát:

2! = 1*2 = 2

3! = 1*2*3 = 6

4! = 1*2*3*4 = 24

5! = 1*2*3*4*5 = 120

6! = 1*2*3*4*5*6 = 720

Elég csak pár egyszerű példát felírni:

2! * 3! = 1*2 * 1*2*3 = 2*6 = 12

viszont

(2*3)! = 6! = 1*2*3*4*5*6 = 720

Vagy:

4! / 2! = 1*2*3*4 / (1*2) = 12

viszont:

(4/2)! = 2! = 1*2 = 2

> Mivel egyenlőek?

Mik mivel egyenlőek? Nem igazán lehet egyszerűbb formában felírni egyiket sem.

Az a! / b! még valamennyire jól egyszerűsíthető lenne elvileg, de sem ad könnyebben leírható alakot:

Pl.:

8! = 1*2*3*4*5*6*7*8

5! = 1*2*3*4*5

8! / 5! = (1*2*3*4*5*6*7*8) / (1*2*3*4*5)

Mint látható 5!-al lehet egyszerűsíteni, így az eredmény 6*7*8 lesz. De ezt általános formában nehezebb leírni, és nem is tűnik egyszerűbbnek:

n! / m! = ∏[i=n+1⇒m] i, ha n>m, és n,m∈ℤ⁺

n! / m! = ∏[i=m+1⇒n] 1/i, ha n<m, és n,m∈ℤ⁺