Mire lehet a gyakorlatban alkalmazni az integrálást?

adott egy mérésed, amit grafikonon ábrázolsz.

A görbe hosszának megállapításához használjuk a deriválást.

A görbe alatti terület kiszámítására pedig az integrálást.

Fizikában nagyon hasznos. Az elmozdulás-sebesség-gyorsulás egymás deriváltjai, így egy kezdeti értékkel (amivel ugye a határozatlan integrálban meg tudod határozni a C-t) meg tudod mondani a gyorsulást leíró függvényből a másik kettőt. Aztán a különböző energiákat mindig integrállal lehet meghatározni. Ez az alakjukon is látszik, sokszor 1/2*x*y^2 alakúak, pont mert integrállal lettek számolva.

Aztán pl forgástestek felszínét és térfogatát számíthatod vele.

De elsősorban azért jó dolog, mert nélküle nem tudsz differenciálegyenleteket megoldani, azok pedig minden tudományterületen nélkülözhetetlenek.

Az integrálás egyfajta összegzés, összesítés. Ha tehát egy folyamatot tekintesz, ami időben (vagy valami más paraméter szerint) változik, és ezt a folyamatot valami szabály alapján le is tudod írni (azaz ismered az őt leíró függvényt), akkor keresheted az idő (paraméter) valamennyi egységéhez tartózó mennyiséget. Ha a folyamat egy erőhatásra történő mozgás, akkor kiszámíthatod a megtett utat a sebesség függvényében. Ha a folyamat egy görbe, kiszámíthatod az egyik változó szerint a görbéhez tartozó területet.

Ha előveszel bármilyen szakkönyvet, amely folyamatok kvantitatív leírását tartalmazza, szinte biztos, hogy sok gyakorlati alkalmazást találsz, ahol a folyamathoz és az integrálhoz tartozó fogalmakat is megmondják.

Az az igazság, hogy az integrálás - mondjuk meg őszintén, önmagában semmire nem jó. Matematikailag szép, ill. lehet neki geometriai jelentést adni.

Hogy megmentsem a matematikusokat, valamire mégis jó az integrálás.

Ez pedig a differenciálegyenletek.

Mind a fizikában, mind a műszaki életben, konkrét, valós dolgok megoldása igen gyakran differenciálegyenletek megoldására vezet.

Ahhoz, hogy ezeket, a problémákat megoldjuk, meg kell oldani az adott problémát leíró differenciálegyenletet.

Ezeket (általában) integrálással lehet megoldani.

Na erre jó.

Minden nem diszkrét "folyamat" leírásához, mivel az integrál az összegzés általánosítása. Az más kérdés, hogy a Newton-Leipniz formula a Riemann-itegrál kiszámítására korlátozottan használható, mert egyszerű esetekben is előfordulhat, hogy a feltételei nem teljesülnek, pl. a függvény értelmezési tartománya nem véges számú intervallum unioja, vagy nem létezik primitív függvény, vagy az nem adható meg zárt alakban. Ez utóbbira példa a standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye.

Azt azért viccesnek gondolom, hogy "csak" differenciálegyenletek megoldásához szükséges, tekintve, hogy a világban lényegében minden differenciálegyenletekkel írható le. Olyan területeken is, amelyen esetleg nem is gondolná az ember. Pl. [link]

Kedves utolsó, ha nekem szólt, nem értem, miért "vicces" hogy csak a differenciálegyenletek megoldására jó...

Nem tudsz mondani olyan példát, amikor az integrálással nem diffegyenletet oldunk meg, így az eredeti állítás teljesen korrekt.

"Mind a fizikában, mind a műszaki életben, konkrét, valós dolgok megoldása igen gyakran differenciálegyenletek megoldására vezet."

A gyufa szép találmány, de legyünk őszinték nem sok minderre jó. Amire talán mégis, az a tűzgyújtás, ami húsok sütéséhez, főzéséhez gyakran szükséges.