Igaz e hogy an=n+1\3n-2 sorozat növekvő?

"Ami lehetőség még nem merült fel, hogy a kérdező az

a_n = n + 1/(3*n) - 2 sorozatra gondol, természetesen erre is igaz lenne, hogy növekvő."

Ez bennem sem merült fel, ilyen mértékű megfogalmazási pongyolaságot még én sem vállalok be. :D

Pedig az '/' jelet láttam már úgy érteni, hogy az adott tag végéig az összes tényezőre érvényes… Mint ahogy például a cos ωt esetén a 'cos'.

No mindegy, akkor inkább kipipálom a maradékot is (a tegnapi 20:43-as hozzászólás módszerével), és akkor a kérdezőnek már csak ki kell választania, hogy neki melyik kell.

Ha a_n = n + 1/(3*n) - 2, akkor a_(n+1) = n + 1 + 1/(3*(n+1)) - 2. Utóbbiból az előbbi:

a_(n+1) - a_n = 1 + 1/(3*(n+1)) - 1/(3*n) = 1 + (n - n - 1)/(3*n*(n + 1)) = (3*n*(n + 1) - 1)/(3*n*(n + 1)).

Mivel 3*n*(n + 1) minden pozitív egész n-re nagyobb mint egy, illetve a nevező is minden pozitív egész n-re pozitív, ezért a_(n+1) - a_n minden n-re pozitív, tehát a_(n+1) minden n-re nagyobb, mint a_n, így az a_n sorozat definíció szerint monoton növekvő.

Ha a_n = n + 1/3*n - 2 = 4/3*n - 2, akkor a_(n+1) = 4/3*(n+1) - 2.

a_(n+1) - a_n = 4/3 > 0.

Ez is készen van.

a_n = n + 1/(3*n - 2), a_(n+1) = n + 1 + 1/(3*n + 1).

a_(n+1) - a_n = 1 + 1/(3*n + 1) - 1/(3*n - 2) = 1 - 3/((3*n + 1)*(3*n - 2)) = (9*n^2 - 3*n - 5)/((3*n + 1)*(3*n - 2)).

A nevező pozitív, még a számlálóról kéne pozitív egész n-ekre belátnunk, hogy pozitív, és készen lennénk… Hát… Most csak az jut eszembe, hogy n = 1-re ez 1, ami pozitív, és lássuk be, hogy a b_n = 9*n^2 - 3*n - 5 sorozat monoton növekvő, tehát a többi n-re is pozitív lesz a cucc.

b_(n+1) - b_n = (9*n^2 + 18*n + 9 - 3*n - 3 - 5) - (9*n^2 - 3*n - 5) = 18*n + 6,

erről már elhisszük, hogy minden pozitív egész n-re nagyobb, mint 0, tehát b_n, így a_n is monoton növekvő.

#23:

Assz'em ez csak neked szól egóról.

Különben nem jönnél ide csak véleményezni.