Igaz e hogy an=n+1\3n-2 sorozat növekvő?

n tart végtelenhez vagy nullához?

Ha n tart végtelenhez, akkor 1/3-hoz tart, de nézd meg a bonyodalmat csak az 0<n<1 részen.

n=0-nál -1/2, n=1-nél 2/1=2. Olyat hullámzik, hogy csak na.

A teljes sorozat NEM növekvő. Egyes szakaszain lokálisan növekvő illetve csökkenő.

Nézd meg az első és második deriváltat, hogy a lok. szélsőértékek meglegyenek.

[link]

Sorozat definíció: olyan függvény, melynek értelmezési tartománya a természetes számok halmaza.

(És akkor felmerül a kérdés, hogy mit akar Wadmalac a (0, 1) nyílt intervallumon, és hogy mit ért derivált alatt…)

Másrészt mi a feladat?

Mert én azt látom ideírva, hogy a_n = n + 1/3*n - 2, ami nem más, mint 4*n/3 - 2, ami nyilván szigorúan monoton növekvő és tart a végtelenhez. Tehát igaz, hogy a sorozat növekvő.

(Végül az osztás jel magyar billentyűzeten a Shift+6.)

Ha az a_n = (n + 1)/(3*n - 2) = 1/3 + 5/(9*n - 18) sorozatra gondolsz, az valóban 1/3-hoz tart, viszont szigorúan monoton csökken. Tehát nem igaz, hogy ez a sorozat növekvő.

Definíció: Az a_n sorozat monoton növekvő, ha a_(n+1) minden n-re nagyobb vagy egyenlő, mint a_n.

Ha a_n = (n + 1)/(3*n - 2), akkor például n = 1-re a_(n + 1) = 3/4 nem nagyobb vagy egyenlő, mint a_n = 2, tehát a definíció szerint NEM IGAZ, hogy az a_n sorozat növekvő.

Most már csak azt kéne tudni, hogy erről van szó:

a_n = (n + 1)/(3*n - 2) ; vagy erről:

a_n = n + 1/(3*n - 2) ?

Mert utóbbi monoton nő...

Fel kell írni a_(n+1)-et. Ezt a megadott a_n segítségével úgy kaphatjuk meg, hogy n helyére mindenhova (n+1)-et helyettesítünk, és rendezzük a kifejezést. Most a_(n+1)=(n+2)/(3n+1) lesz. A definíció következménye, hogy ha a_n szigorúan monoton növekvő, akkor a_(n+1)-a_n>0, ha csak monoton növekvő, akkor >=0. A fenti két törtet kell egymásból kivonni, és megnézni a kapott kifejezés előjelét n-től függően.

Ebben az esetben a_(n+1)-a_n=((n+2)/(3n+1))-((n+1)/(3n-2))=((n+2)*(3n-2)-(n+1)*(3n+1))/((3n+1)*(3n-2))=-5/((3n+1)*(3n-2)). Mivel neN, azaz pozitív egész, ezért a nevező mindig pozitív. A számláló pedig negatív. Tehát a kifejezés minden neN esetén <0, ami azt jelenti, hogy a_(n+1)-a_n<0, a_(n+1)<a_n, az a_n sorozat szigorúan monoton csökkenő. Így a kérdésre a válasz az, hogy nem igaz.

"És akkor felmerül a kérdés, hogy mit akar Wadmalac a (0, 1) nyílt intervallumon, és hogy mit ért derivált alatt…"

Vajon mit?

Vizualizálni a fv. viselkedését. Mert az x eleme R függvénygörbén is rajta lesznek a sorozat term. szám pontjai és így látni, hol merre tart. Kapise? :)