Kati egy olyan gombot varr fel a kabátjára, melyen négy lyuk van, egy négyzet négy csúcsában vannak a lyukak?

Ugye elsőre azt kell tisztázni, hogy vannak egybevágó, szimmetrikus alakzatok. Ezeket általában egy mintának tekintjük.

4 lyuk van, ez 6 különböző párosítást jelent. Ha minden lyuk mindegyikkel össze van kötve, akkor két átlót és a négyzet négy oldalát jelenti.

Célszerűen nézzük meg, hogy különböző darabszámú vonalakkal mik jöhetnek ki.

0 vonal: Ez ugye nem lehet, hiszen a gomb leesne.

1 vonal: Vagy két egymással szomszédos lyukat köt össze (_), vagy két egymással átellenest (/)

2 vonal:

- 2 oldalvonal: esetén vagy közös lyukkal (L), vagy két párhuzamos oldal (=)

- 1 oldal + 1 átló: Csak egyféle megoldás van (∠)

- Két átló: Csak egyféle megoldás van (X)

3 vonal:

- 3 oldal: Egyféle megoldás (⊔)

- 2 oldal + 1 átló:

--- 2 merőleges oldal és a közös pontból kiinduló átló (L és / kombinációja).

--- 2 merőleges oldal és nem a közös pontból kiinduló átló (háromszög: ⊿)

--- 2 párhuzamos oldal és egy átló (Z)

- 1 oldal + 2 átló: Egyféle megoldás van (⋉)

4 vonal:

- 4 oldal: négyzet

- 3 oldal + 1 átló: Ebből is csak egyféle megoldás van, a többi szimmetrikus vele

- 2 oldal + 2 átló: Kétféle van, aszerint, hogy a két oldal merőleges, vagy párhuzamos. (Az egyik ⋈, a másik L és X kombinációja)

5 vonal:

Itt már érdemes fordítva gondolkodni. Vagy egy oldal hiányzik a tele varráshoz képest, vagy egy átló. (Négyzet + / vagy ⊔ + X)

6 vonal: tele varrás (⊠)

Ez ha jól számolom 2+4+5+4+2+1 = 18 különböző minta.

Ez egy egyszerű négycsúcsú gráf. Ha minden élet behúzunk, hat élet kapunk, ezek közül kell eldönteni, hogy melyik él szerepel a mintában, és melyik nem. Minden élről eldöntjük, hogy szerepel-e, ez 2 a hatodikon, vagyis 64.

Van egy nagyon hasonló feladat:

Lehetséges-e, hogy Magyarországon minden embernek más fogai hiányoznak, vagyis nincs két ember, akiknek egyforma a fogsoruk. Az az érdekes, hogy lehetséges, 2 a harminckettediken a megoldás.

Én is gráfra gyanakodtam először, de a számolást akkor sem tudtam volna. (Azt még mindig nem értem, hogy miért úgy, ahogy...)

Úgyhogy megint elkezdtem rajzolgatni, kicsit figyelmesebben, és meglett 62 minta; ez egyfelől jó, mert több, mint éjszaka volt; másfelől bosszantó, mert 1 még hiányzott... (Feltételezve, hogy valóban a 63 a jó megoldás.) Már azon gondolkodtam, hogy feltöltöm a rajzot, hogy nézze meg valaki... :D

De aztán inkább átnéztem Süsü válaszát, hátha megtalálom a hiányzó mintát, és tényleg: a szimpla X-et hagytam ki. :)

És úgy elképzeltem, hogy éjszaka néhányan vadul mintákat rajzolgatunk vagy számolgatunk, okoskodunk; pont mint egy osztályban, csak nem egy helyen vagyunk, és nincs tanár, aki megmondja, melyik a jó megoldás. :D

#5: Ez igaz, ha az egybevágó mintákat külön mintaként kezeljük, tehát azt mondjuk, hogy a következő két minta különböző: ⋉ ⋊

Ezek azonos minták, vagy négy különböző mintáról van szó? ⊔ ⊏ ⊓ ⊐

Illetve még itt is kérdés, hogy csak az elforgatással kapott minták egyezőek-e – azaz az mindegy, hogy honnan nézzük –, vagy a tengelyszimmetrikusok is azonos mintának számítanak-e? (Azaz a N minta azonos-e a И mintával, vagy sem?)

Ez kérdés, ezt a feladat pontosításával lehet csak eldönteni. Ha ezek különböző minták, akkor a te válaszod a helyes. Ha ezek egyező minták, akkor viszont az én válaszom helyes (hacsak nem rontottam el valahol).