Parciális integrálással meg kéne oldani! (integráljel) √x lnx dx=? Parciális törtekre bontással! (integráljel) 2x/ (x-3) * (x^2+1) dx

A parciális integrálás képlete:

∫(f'*g)=f*g-∫(f*g')

Legyen most

g=lnx,

f'=√x.

Ekkor f √x egy primitív függvénye, ezért

f=2/3*√(x^3).

A képletbe helyettesítve tehát

∫(√x lnx )=2/3*√(x^3)*lnx -∫(2/3*√(x^3)*(1/x)).

Az utóbbi integrál kiszámításához vegyük észre, hogy

2/3*√(x^3)*(1/x)=2/3*√x,

ennek egy primitív függvénye

4/9*√(x^3).

Így a megoldás:

2/3*√(x^3)*lnx -4/9*√(x^3)+c=2/3*√(x^3)*(lnx-2/3)+c.

Gondolom, a 2. feladatnál (x-3)*(x^2+1) teljes egészében a nevezőben van.

A parciális törtekre bontásnál olyan A,B,C számokat kell meghatározni, amelyre

2x/(x-3)*(x^2+1) = A/(x-3) + (Bx+C)/(x^2+1).

Itt a közös nevezővel átszorzunk és rendezünk, azt kapjuk, hogy

2x=(A+B)x^2+(-3B+C)x+(A-3C).

A két oldal csak úgy lehet minden x-re egyenlő, ha a megfelelő fokszámú tagok megegyeznek, tehát

A+B=0,

-3B+C=2,

A-3C=0.

Ezt az egyenletrendszert megoldva,

A=-3/4, B=3/4, C=-1/4.

Tehát az integrálandó kifejezést a következővé alakítottuk:

-3/4*(1/(x-3)) + (3/4*x-1/4)/(x^2+1).

Innen az első tagot könnyű integrálni. 1/(x-3) primitív függvénye ugyanis ln│x-3│ (hiszen a nevező deriváltja a számláló). Tehát az első tag primitív függvénye:

-3/4*ln│x-3│.

A második tag integrálása trükkösebb. Először a nevező deriváltjának valahányszorosát próbáljuk meg megjeleníteni a számlálóban:

(3/4*x-1/4)/(x^2+1)=1/4*((3x-1)/(x^2+1))=

=1/4*(3/2*2x/(x^2+1))-1/4*(1/(x^2+1))=

=3/8*(2x/(x^2+1))-1/4*(1/(x^2+1))

Itt az első tagnál a nevező deriváltja a számláló, így a primitív függvény:

3/8*ln│x^2+1│.

A második tag pedig ismert, hogy az arctg függvény deriváltja, tehát a primitív függvény:

-1/4*arctg(x).

Összefüglalva, a keresett integrál:

-3/4*ln│x-3│+3/8*ln│x^2+1│-1/4*arctg(x)+c.