Lineáris alterek e R háromban?

[link]

Itt van egy tétel, ami megmondja, hogy azt kell vizsgálni, hogy két vektor összeadása és a skalárral való szorzás is az adott altérben marad-e.

Ha nem, elég adni egy ellenpéldát, ha igen be kell bizonyítani.

1. példa: (x;y;0)

legyen két vektorunk: u:(x1;y1;0) és v:(x2;y2;0)

Tudjuk, hogy x1+y1=0 és x2+y2=0

Ekkor u+v = (x1+x2;y1+y2,0)

Ellenőrizzük, hogy a kapott vektor benne van-e az altérben, vagyis hogy

x1+x2 + y1+y2 = 0 ?

x1+x2 + y1+y2 = x1+y1+x2+y2 = 0+0 = 0, tehát az összeadás nem vezet ki.

Nézzük a skalárral való szorzást.

Legyen u = (x;y;0) ahol x+y=0 és a skalárunk legyen a. (lambdát írnék, ha tudnék :))

a*u = (ax;ay;0)

Ismét viszgáljuk, hogy ez a vektor benne van-e a térben, vagyis

ax+ay = 0?

ax+ay = a(x+y) = a*0=0

Láthatjuk hogy a két művelet nem vezetett ki a vektortérből, tehát ez lineáris altér.

2. feladat. x^2+y=0

Ez a négyzet miatt nem lesz jó, íme egy ellenpélda a skalárral való szorzásra:

u=(2;-4;0) a = 2 (itt teljesül az x^2+y=0 hiszen 2^2-4=0)

a*u=2*(2;-4;0)=(4;-8;0)

viszont 4^2-8 = 8, ami nem 0 tehát ez a művelet kivezetett a vektortérből, ezért nem lineáris altér.