Adott egy egyenlet: a^3=b^2+2 Ezt a természetes számok halmazán kell megoldani. Azt is tudom, hogy a=3; b=5 jó megoldás. Az a bizonyítandó, hogy ez az egyetlen megoldás. Miért nincs több megoldása?

Egy kis becsléssel egyszerűsíthető a feladat (egyváltozóssá). Nem fogom megoldani teljesen, hanem elmondom a lényeget:

a,b természetes szám esetén az alábbi alsó becslés érvényes:

a^3 - b^2 >= a^3-b^3

Azt kéne megmutatni, hogy a^3,b^2 eltérése nagy lesz már a,b kis eltérése esetén. Ez most mese volt. A lényeg:

a^3-b^3=(a-b)*(a^2+ab+b^2) > 2, biztosan teljesül, ha a-b > 2. Megkaptuk tehát, hogy ha a-b > 2, akkor

a^3-b^2 > 2.

Tehát, ha a - b > 2, akkor az egyenletnek tuti nem lesz megoldása. Így csak az olyan (a,b) számpárokat kell nézni amelyeknek az eltérése legfeljebb 2. (3,5 is ilyen egyébként, nem véletlenül).

Ezeket pedig lehet olyan formában keresni, hogy b=a+2,b=a+1,.... Innentől bízom rád.

Hibás az előző gondolatmenet. Addig rendben van, hogy ha a-b>2, akkor nincs megoldás, ez nyilvánvaló is, viszont (a-b) ettől még lehet nagy abszolútértékű, negatív szám. Nagyságrendileg b=a*gyök(a) az egyenlet alapján, ilyen számpárokat kellene keresni, amikor is b sokkal nagyobb, mint a.

Ez szerintem tipikusan olyan diofantoszi egyenlet, amelynek a megoldásáért doktori fokozat jár. Nagyon nehéz, hatalmas háttértudásra van szükség, mellyel együtt egy teljes bizonyítás akár több száz oldalas is lehet. Kizártnak tartom, hogy erre a feladatra itt válasz fog érkezni.

(Ezt onnan sejtem, hogy az egyenletnek van megoldása. Ha nem lenne egy sem, akkor azt bizonyítani gyakran sokkal könnyebb.)

Valóban, elég csúnyán benéztem azt, késő volt már, elnézést.

A megoldás pedig itt ( [link] megtalálható.

Itt jóval nagyvonalúbban intézik el: [link]

Azért egy elemi megoldásra kíváncsi lennék most már. :)