Egy jó matekes segítene ezt az egyenletet megoldani? Úgy van hogy : Határozd meg az 1+5+9+. +n=231 egyenlőségből az n természetes számot!

A sorozatot látod: 1+5+9+13+17+21+... négyesével nő a tag. Így azt lehet mondani, hogy a k-adik tag 4k+valamennyi. Az első tag 1=4*1+valamennyi, tehát valamennyi = -3. Tehát a sorozat k-adik tagja 4k-3. Az első k tag összege (4*1-3)+(4*2-3)+...+(4*k-3)=S. Ezt zárt alakra kell hozni (vagyis eltüntetni a ...-ot), erre mutatok egy trükköt.

Sorold fel tagokat rendes sorrendben, és fordítva is. Mindkét esetben az összeg S.

S = (4*1-3)+(4*2-3) +(4*3-3) +...+(4*(k-1)-3)+(4*k-3)

S = (4*k-3)+(4*(k-1)-3)+(4*(k-2)+3)+...+(4*2 -3)+(4*1-3)

Az első sorban négyesével nőnek az összegek, a másodikban négyesével csökkennek. Ezért, ha az egymás felett álló tagokat összeadod, akkir mindig ugyanannyit kapsz. Tehát összeadod ezt a két egyenletet úgy, hogy az egymás felett álló tagokat összegzed:

2S = (4*(k+1)-6)+(4*(k+1)-6)+...+(4*(k+1)-6) = k*(4*(k+1)-6).

Tehát S = k*(4*(k+1)-6)/2 = k*(2k-1).

Az S=231 egyeletet megoldod k-ra (k természetes szám!), erre kijön k=11, vagyis a sorozat első 11 tagját összegezve kapunk 231-et. Mivel az egyenletben n az utolsó (11-edik) tagot jelöli, ezért n=4*k-3=4*11-3=41.