Miért kellett bővíteni a természetes számok halmazát? FONTOS!

Bocsi 12,75 . Elírtam . :-))))

12f

Először is tudni kell a definíciót, azaz hogy mely számok tartoznak egy-egy halmazba. --> A természetes számok halmazába (N) a pozitív egész számok és a 0 tartoznak.

Ha egy műveletet végzünk egy adott halmazba tartozó számokkal, ami jelen esetben az N, akkor két eset lehetséges az eredményt illetően:

1. Az is beletartozik az N halmazba, azaz eleme annak; ekkor nincs gond. Például 14-8=6.

2. Nem eleme az N halmaznak, például 14-21=-7.

Ezért kell bővíteni a halmazt, itt az egész számok halmazára (Z).

Tehát halmazt mindig akkor kell bővíteni, ha az eredeti halmaznál nincs megoldás. Ha megadták a feladatban feltételként, hogy melyik halmazban kell keresni a megoldásokat, de nincs olyan, akkor azt kell leírni, hogy az adott halmaz esetén nincs megoldás. (Ha jól emlékszem, mi villámmal jelöltük.)

Ha nincs ilyen feltétel, azaz nincs kikötve, hogy melyik halmazban legyen a megoldás, akkor simán leírod a megoldást, és kész.

Vagy például a 21:3=7 esetén nincs probléma, mert a műveletben levő számok és a hányados is eleme az N halmaznak. De a 12:24 már problémás, mivel ennek hányadosa (1/2) nem egész szám. Tehát itt az N halmazon nincs megoldás, ezért bővíteni kell olyan halmazra, aminek elemei lehetnek a természetes törtek. Ez pedig a Q halmaz, azaz a racionális számok halmaza. Ennek elemei: két tetszőleges egész szám hányadosai, amelyek a/b alakban (azaz természetes tört alakban) felírhatók, és b nem = 0.

Ha a megoldás nem természetes tört, pl. 22:7 esetén, akkor a Q* halmazra kell bővíteni (= irracionális számok halmaza, melynek elemei a végtelen, nem szakaszos tizedes törtek).

Általában mindig csak annyira bővítünk egy halmazt, amennyire szükséges. Az 1/2 és a többi természetes tört eleme a valós számok halmazának is (R), mivel a Q halmaz valódi részhalmaza az R-nek; tehát lehetne R-re is bővíteni, de felesleges.

Remélem, így érthető. :)

Javaslom tehát, hogy tanuld meg, melyik halmazba mely számok tartoznak, és akkor már könnyebb lesz átlátni a helyzetet. Sok sikert. :)