Hogyan oldok meg háromismeretlenes, elsőfokú egyenletrendszert?

x+y=2

x+z=3

y+z=4

Az elsőből kifejezzük x-et:

x=2-y

ezt behelyettesítjük a másodikba:

2-y+z=3

ebből kifejezzük z-t:

z=3-2+y

ezt behelyettesítjük a harmadikba:

y+3-2+y=4

összevonunk:

2y+1=4

rendezzük:

y=1.5

az elsőbe visszahelyettesítve:

x+1.5=2

rendezve:

x=0.5

a másodikba visszahelyettesítve:

0.5+z=3

rendezve:

z=2.5

tehát az értékek:

x=0.5

y=1.5

z=2.5

Általában mindenkinek a behelyettesítéses módszer jut eszébe, de nem ez az egyetlen módszer az ilyen egyenletek megoldására. Ha olyan egyszerű egyenletrendszerről van szó, mint amit felírtál, még könnyen kezelhető értékekkel kell dolgozni, de ha már nem 1 az ismeretlenek együtthatója, előfordulhat, hogy "csúnya" törtekkel kell dolgozni, amiknél könnyű hibázni.

Az utóbbi esetben részemről szívesebben használom az egyenlő együtthatók módszerét, amivel sokkal átláthatóbban lehet megoldani egy hasonló egyenletrendszert.

Példa:

(1) 3x + 2y = 12

(2) 2x + 3z = 16

(3) 5y + 4z = 31

Az (1)-t megszorzom 2-vel, a (2)-t 3-mal

(1a) 6x + 4y = 24

(2a) 6x + 9z = 48

(3) 5y + 4z = 31

(2a)-(1a)

9z - 4y = 24

5y + 4z = 31 (a (3) változatlan)

A jobb áttekinthetőség végett az azonos változókat egymás alá írva

9z - 4y = 24 /*5

4z + 5y = 31 /*4

45z - 20y = 120

16z + 20y = 124

a kettőt összeadva

61z = 244

z = 4

====

(3)-ból

5y + 4z = 31

5y + 16 = 31

y = 3

====

(1)-ből

3x + 2y = 12

3x + 6 = 12

x = 2

====

A te példádnál ez a következő lehet

x+y=2

x+z=3

y+z=4

Az elsőből kivonva a másodikat az egyenletek

y - z = -1

y + z = 4

összeadva őket

2y = 3

y = 1,5

=====

Az elsőből

x = 0,5

=====

A másodikból

z = 2,5

=====

Döntsd el, melyik módszer a gyorsabb és biztosabb.