Most akkor 1 és 0 is hatványszám, nem?

Igen, a 0 és az 1 is hatványszám.

A végével nem tudom, mit szeretnél cáfolni.

Hatványszámnak azt a számot nevezzük – ahogy azt már leírtam a másik kérdésednél is –, ami felírható egy 1-nél nagyobb (pozitív) egésznek egy 1-nél nagyobb egészre való emelésével.

Az, hogy mi hatványszám és mi nem az, az definitív kérdés. Olyan, mint pl. a természetes számok esetében.

Ha úgy definiáljuk a természetes számok halmazát, hogy annak a nulla is eleme legyen, akkor a nulla természetes szám. Ennek van előnye, pl. a Peano-féle axiómarendszerben ez így van mert így praktikus, hiszen az axiómarendszer épít arra, hogy a nullával jobból való összegzés hatástalan, illetve hogy a nullával való szorzás eredménye nulla. A matematika más területein meg lehet, hogy a nullát nem tekintjük a természetes számnak, mert ott meg úgy praktikus, macerás lenne az n∈ℕ helyett mindig azt írni, hogy n∈ℕ : n>0 vagy n∈ℕ\{0}. Persze a félreértések elkerülése végett születtek erre új jelölések: ℕ₁ vagy ℕ⁺ ha a nulla nem számít bele, és ℕ₀ ha beleszámít.

Ugyanígy definíciós kérdés, hogy az 1 prímszám-e vagy sem. Itt is praktikus okokból született az a definíció, hogy az 1-et nem soroljuk a prímszámok közé. Különben egy csomó számelméleti összefüggésnél egyesével kellene kikötni, hogy az 1-nél nagyobb prímekről van szó. Egyszerűbb a prímeket úgy definiálni, hogy alapból ne számítson az 1-es, és ha nagyon kell, akkor „manuálisan” hozzávenni.

Vagy pl. a valós szám négyzetgyökének a definíciója az *nemnegatív* szám, aminek a négyzete a szám. Azért tettük bele a nemnegatív kritériumot, mert a legtöbb esetben praktikus. Gyakoribb lenne hogy egy szám négyzetgyökének az abszolút értékét kellene venni, pl.: |√2|, mint az, hogy egy szám négyzetgyökét és az ellentettjét kellene egyszerre kifejezni, pl.: ±√2. Hiába igaz, hogy 4=(-2)², attól még a -2 nem négyzetgyöke a 4-nek.

~ ~ ~

Ugyanez a helyzet a hatványszámok, vagy más néven teljes hatványok esetén is. Praktikus oka van annak, hogy azokat nevezzük hatványszámnak, amiknél számláló is, kitevő is 1-nél nagyobb egész. Pl. ott a Goldbach-Euler-tétel kimondja, hogy a hatványszámoknál eggyel kisebb számok reciprokainak az összege 1-gyel egyenlő: 1/3 + 1/7 + 1/8 + 1/15 + 1/24 + 1/26 + 1/31 + … = 1. Ebbe a 0 is, az 1 is csak belerondítana.

Persze ha te valamiért egy matematikai levezetésben praktikusnak tartanád, hogy a levezetésed az 1-re és/vagy 0-ra is kiterjessze a hatványszám fogalmát, akkor megteheted, hogy újradefiniálod azt. Jogod van hozzá, pont úgy, mint ahogy jogod van a szamarat is lónak nevezned. De mindkét esetben van következménye a dolognak. Egyrészt könnyen lehet, hogy furcsán fognak rád nézni. Másrészt ettől még a konszenzusos definíció marad a definíció. Ha te a szamarat is lónak nevezed, akkor érteni fogják, hogy valamiért te így jártál el, nem találtál rá jobb szót, de ettől még a szamár nem lett ló, a ló továbbra is azt jelenti, amit általában jelenteni szokott.

> Hatványszám=N^(1+Z+) ahol N egy természetes szám, 1+Z+ pedig egy és egy pozitív egész szám összege a kitevőben. Egy és egy pozitív egész szàm összege mindig minimum kettő.

> 0²=0 és 1²=1

Ha így definiálod a hatványszámot, és a 0 természetes szám, akkor igen, a 0 és az 1 is hatványszám. De ez triviális, és nem is kérdés. Ha csak mondani szerettél volna valamit, akkor nem jött át, hogy mit.