Vannak-e, ismertek-e olyan nagy hatványszám párokat, amelyek között nagyon kicsi a különbség (de nem nulla)?
a^m + d = b^n ; a,b,m,n,d >1 egészek, b^n > d^6
Pl. ilyenre gondolok:
22434^2 + 19 = 55^5 ( = 503284375 ~ 19^6,80 )
Mondjuk 10^12-nél nagyobb és 100-nál kisebb különbségű, vagy
10^18-nál nagyobb és 1000-nél kisebb különbségű hatványszám-párok?
válasza:10^12 és 10^18 között az alábbi pároknál kisebb a különbség, mint 1000.
(Ahol nincs kiírva, hogy négyzet, ott valami magasabb hatvány van, azokat nem mentette el a program.)
1478816515457 és 1478816516356 (1216066^2) távolsága: 899
1649305768009 (1284253^2) és 1649305768375 távolsága: 366
4699421874225 (2167815^2) és 4699421875000 távolsága: 775
7615646045316 (2759646^2) és 7615646045657 távolsága: 341
11360276991001 (3370501^2) és 11360276992000 távolsága: 999
18672899076225 (4321215^2) és 18672899077000 távolsága: 775
27909116936037 és 27909116936464 (5282908^2) távolsága: 427
104114861061184 és 104114861061561 (10203669^2) távolsága: 377
317759074335919 és 317759074336804 (17825798^2) távolsága: 885
826455610955584 és 826455610955881 (28748141^2) távolsága: 297
1609346008388672 és 1609346008389025 (40116655^2) távolsága: 353
49757256774842409 (223063347^2) és 49757256774842616 távolsága: 207
74805251419106551 és 74805251419107169 (273505487^2) távolsága: 618
284302318913605476 (533200074^2) és 284302318913606323 távolsága: 847
373425320872841544 és 373425320872841769 (611085363^2) távolsága: 225
830019507530916096 (911054064^2) és 830019507530916403 távolsága: 307
10^18 fölött már nehezebb ilyen számok keresése, mert a java long mérete max 2^63 lehet.
Köszi!
Azt a következtetést próbálom levonni, hogy nem hogy egy konkrét kis szám (pl. 98), hanem valószínűleg semelyik 100 alatti különbség nem fordul már elő a nagyobb számok körében.
Ill. azt, hogy kb. n^(1/6) körüli az a határ, amilyen kis különbségek esetleg előfordulnak.
(Mert ezek általában négyzet és köbszámok különbségei?)
Persze tudom, hogy ez csak valószínűség, és előfordulhat hogy pl. két 100 jegyű között csak 1,2,3 számjegyű a különbség - csak ez nagyon valószínűtlen.
Szerinted?
válasza:Mivel n és n+1 relatív prímek, tehát biztos, hogy nincs közös osztójuk és kapásból nem látom elvi akadályát annak, hogy mindkettő hatvány szám legyen.
Szerintem ezek eléggé hasonlítanak a prímekre.
A prímek átlagos száma folyamatosan csökken, ennek ellenére az ikerprímekből úgy tűnik végtelen sok van.
Ugyanígy a hatványszámok átlagos távolsága növekszik, ahogy n nő.
100 és 100.000 között kb 390 van.
Vagyis 260 számra jut egy.
Addig 100.000 és 100.000.000 között már csak 9800 számonként egy van.
De ez semmit nem mond az eloszlásukról.
Nem látok elvi okot arra, hogy időnként 2 közel kerüljön egymáshoz. Akár egy különbségre is.
Valóban, szerintem is hasonlít a prímek-ikerprímek esetére.
Én azt a nagy különbséget látom, hogy míg a prímek rel. száma lassan csökken (1/ln x), addig a négyzet- és köbszámok gyakorisága gyorsan csökken ( 1/(2x), 1/(3x^2) ).
"Akár egy különbségre is."
Tudtommal bizonyított, hogy a (8,9)-en kívül nincs több 1 különbség.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!