Honnan tudjuk azt hogy egy egyenletet derivalni vagy intergalni kell?

Én még csak most tanulom, de deriválással meredekséget kapsz (érintő), integrálással pedig görbe alatti területet kapsz.

Javítsatok ki, ha nem így van!

Ahogy #2 és #3 mondja.

A deriválásnál a sokad fokú egyenletet egyszerűsíted akkor kapod a görbéd érintőit.

Minél többször deriválod annál elnagyoltabb a dolog, annál nagyobbat merítesz az adatokból.

Tőzsdei trendeknél látni ilyet. Amikor kiválasztanak egy szakaszt (ide oda ugráló értékekkel) és húznak fölé egy egyenest ami a trend meredekségét adja meg. Csak nem mindegy hogy a kiválasztott szakasz mekkora pl napi heti havi vagy éves. Mert a trend és a meredekség is teljesen más lesz.

Integrálás meg ugye ennek az ellentettje tehát a függvényed bonyolultabbá teszed viszont egyúttal megkapod a határolt függvény alatti (vagy feletti) területet. Minél többször integrálsz annál pontosabb a számított "terület" értéked.

Végtelenül pongyolásítva a dolgot.

A deriválással - "kizúmolsz" a függvényből.

Az integrálással - "belezúmolsz" - egyre kisebb szakaszának egyre pontosabb határolt terület értékeit kapod meg.

Itt jegyezném meg hogy egyik sem magát a függvényt adja, mert a függvény már adott.

Hanem mindkét eljárás valamilyen tulajdonságait vizsgálja a függvényeknek és megtudnak valamit róla. Ezért ez függvény analízis (vagyis ezek az eszközei).

#4

"A deriválásnál a sokad fokú egyenletet egyszerűsíted akkor kapod a görbéd érintőit."

A deriválás nem egyszerűsíti a függvényt. (Az természetesen lehet, hogy egy függvény deriváltja egy egyszerűbb függvény lesz (persze az is jó kérdés, mit értünk egyszerűbb alatt), de egyáltalán nem szükségszerű.)

"Minél többször deriválod annál elnagyoltabb a dolog, annál nagyobbat merítesz az adatokból."

Nem igaz. A többszörös deriválás nem elnagyolást jelent.

"Tőzsdei trendeknél látni ilyet. Amikor kiválasztanak egy szakaszt (ide oda ugráló értékekkel) és húznak fölé egy egyenest ami a trend meredekségét adja meg."

Egy trendvonal nagyon nem ugyanaz, mint a derivált.

"Integrálás meg ugye ennek az ellentettje tehát a függvényed bonyolultabbá teszed "

Az integrálás nem azt jelenti, hogy a függvény alatti területet bonyolultabbá teszed. Az integrálás egyszerűen a deriválás inverz művelete. (És valóban alkalmas a függvény alatti terület kiszámolására.)

"Minél többször integrálsz annál pontosabb a számított "terület" értéked."

Ez sem igaz. Többszörös integrálás teljesen mást ad meg.

#5

Ezek sem igazak.

Hát... Ugyan fogalmam nincs, mire érted a kérdést, de a deriváltat lehet használni pl. polinomok többszörös gyökeinek meghatározásakor.

Tfh. p=(x-r)^n*q, n>=2, és q-nak r már nem gyöke. Ekkor

p'=(x-r)^{n-1}*q+(x-r)^n*q'.

Kapjuk tehát, hogy ha egy p polinomnak r n-szeres gyöke, akkor deriváltjának (n-1)-szeres gyöke.

Tehát itt lehet alkalmazni a deriváltat polinom többszörös zéróhelyének meghatározásához.

Másik alkalmazás, hogy ha egy függvény zérushelyét numerikusan akarjuk meghatározni, mert analitikusan nem lehet vagy nagyon nehéz, akkor iterációs módszerrel, ún. Newton-Raphson-iterációval lehet numerikusan meghatározni, ez is deriváltat használ. Ez nem bonyolult, sőt kifejezetten természetes ötletet használ, de nem mindig konvergens. Egyrészt. Másrészt viszont, ha konvergens és a deriváltat meg tudjuk határozni, akkor nagyon(!) gyors (exponenciális) konvergenciát biztosít ez az iterációs eljárás. Itt GyK-n nem fejezem ki az egész hóbelevancot, mert a jelöléseket nagyon nehezen tudnám ide berakni, de utánanézhetsz.

Aztán mikor integrálunk... Hát integrálhatunk pl. akkor, ha szerparábilis differenciálegyenletet oldunk meg, de ez sem mindig könnyű, hisz nem minden elemi függvénynek elemi függvény a primitív függvénye. Szintén a differenciálegyenletek kapcsán felmerül egy iterációs eljárás, ami integrálást használ, pl. a Picard-iteráció.

#8-cal pedig teljesen egyetértek.