Elképzelhető, hogy vannak még számok a számegyenesen a valós számok között is?

Bármi elképzelhető, azonban nem mindenki tudja értelmezni és magáévá tenni az általad elképzelt dolgokat.

Ha valamit csak nagyon kevesen tudnak elképzelni, őket hívják őrültnek, butának, satöbbi. Ha ilyen kritikát kapsz, ne vegye el a kedvedet...

A valós számok egy önkényes elméleti konstrukció. Azt tartalmazza, amit az emberek kitalálnak, hogy tartalmazzon. Ha úgy definiálod, hogy legyen, akkor lesz. Ha úgy definiálod hogy ne legyen, akkor nem lesz. Értelmetlen ilyeneken gondolkodni.

De egyébként a jelenleg elfogadott valós szám definíció alapján nincsen semmi a számegyenesen, ami nem valós szám. Direkt így lett kitalálva. Azért van így megalkotva ez a számhalmaz, hogy folytonos legyen, mert ez mindenféle függvényanalízis alapja. Többek között.

Igen létezik ilyen matematikai konstrukció.

A standard kalkulusban (analízisben) ezen belül a határérték számítás azon alapul (ill. a differenciál és integrál számításban is visszaköszönt), hogy szerepelnek bennük olyan határértékek melyek végtelenül kicsi értékhez tartanak és mégis értelmezettek lehetnek. Pl. lim x->0 sin(x)/x. Tudjuk hogyha az érték behelyettesíthető akkor ugyana lesz mint a határétéke. Itt viszont nem helyettesíthető be a 0 mert sin(0)/0-át kapnánk, de határérték számítás szempontjából mégis kezelhető, aki ismeri a L'Hôpital-szabályt akkor ki tudja könnyen számolni hogy ezen határérték az 1. Vagy még például lim n-> ∞ (1+1/n)^n = e ~ 2.718 tudjuk hogy ez az Euler féle szám ami a természetes logaritmus alapja ... még lehetne sorolni példákat.

Persze az olyan olyan gondolkodásúak mint az 1-es hozzászóló őrültnek gondolná ha nem hallott ilyet, főleg ha abban a korban élne amikor Leonhard Euler élt azt a gondolatot ha egy n értéket a végtelenbe tartatunk akkor (1+1/n) az n.-ik hatványra emelve hogy lehet értelmezni és hogy lehet 2 és 3 közötti irracinális transzendens szám.

Illetve még megemlítem hogy lim n->∞ 1/n = 0 és lim n->0 1/(n^2) = 0 és lim n->0 (n^2)/n -> ∞ . Ezen kifekezések nem szerepelnek számokként a standard számelméletben, csak mint határértékek.

Viszont a nem standard számelméletben létezik ilyen konstrukció ahol konkrétan szepelelnek végtelen és infinitezimális mennyiségeket is.

A szürreális számokat John Horton Conway brit matematikus konstruálta meg, és Donald Knuth amerikai számítástudós tette közismertté Számok valóson innen és túl című könyvével; az elnevezés is Knuthtól származik. Az elnevezés Conwaynek is tetszett, és átvette. Leírta a szürreális számokat, és játékok, többek között a go elemzésére használta On Numbers and Games (1976) című könyvében.

Bármely valós szám szürreális számokkal van körülvéve, amelyek közelebb vannak hozzá minden valós számnál.

[link]

Ilyen szám nincs. A VALÓS számegyenes VALÓS számokat tartalmaz, mindegy, hogy milyen művelettel jutsz el hozzájuk.

Egyébként a valós számok egyben komplex számok is.

#7

"A szürreális számok olyan számrendszert, illetve lineáris kontinuumot alkotnak, amely tartalmazza a valós számokat, valamint végtelen és infinitezimális mennyiségeket is."

[link]

Ehhez olvasnivaló:

[link]

Én el tudom képzelni. Legyen a számegyenesünk az R. Maradjunk az ismert komplex számoknál, jelöljük C-vel a komplex számsíkot.

Tulajdonképpen az a probléma, hogy az R csak 1-dimenziós, míg a C 2. De igazából ennek csak vizuális szempontból van jelentősége, az R-nek és C-nek ugyanis ugyanannyi pontja van!

Meg tudom tenni azt, hogy az R pontjait kicsit áthelyezem, és közéjük bepasszírozom a C összes (nem valós) pontját. Kvázi a valós számok között ott lesznek a nem valós C-beli számok.

Az pedig, hogy a C hogyan passzírozható bele az R egyenesbe, csak az alapötletet mondom el. Például a 0,123456... valós számhoz rendeljük hozzá a 0,1357... + i•0,2468... komplex számot. Ezzel egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést tudunk csinálni R és C közöt. Vagyis majdnem, a véges tizedes törtek kétféleképpen felírható formája miatt (0,55 = 0,549999...), mert itt két komplex számhoz rendelnénk ugyanazt a valós számot. De ezen könnyű segíteni. Ha szeretnél rajta gondolkozni, de magyon nem megy, a Hilbert-hotel témakörének nézz utána.

Tehát a valós számok között még egy teljes síknyi (sőt, akárhány dimenziónyi) szám is elképzelhető. A műveleteket meg úgy definiálod köztük, ahogy akarod.

@00:56

Rizsa ...

Ezt nem fogjátok fel, ez a matematikai gyengeelméjűségetek:

[link]