Mi az az euklidészi tér?

Nagyon lebutítva, de szemléletesen az euklideszi tér azon pontok halmaza, amelyekbe egy adott kezdőpontból (origó) adott vektorokkal, amelyeknek közös kezdőpontja az origó (helyvektorok), illetve azok skalárszorosával (vagyis a vektorok hossza változtatható az irány megtartásával, de ellenkező irányba meg is fordíthatóak) el lehet jutni. A teret n-dimenziósnak mondjuk, hogyha bármelyik pontba való eljutáshoz az adott vektorok közül legfeljebb n darabra van szükség.

Az iskolában tanult (ortonormált) derékszögű koordinátarendszer is euklideszi tér, mert van egy középpontja, és van két helyvektora (amiket általában i-vel és j-vel jelölünk), amik merőlegesek egymásra és ugyanolyan hosszúak (ezt tekintjük egységnek), és ezek felhasználásával (lineáris kombinációjukkal) a koordinátarendszer bármelyik pontjába el lehet jutni. Ha több helyvektort is megadunk, (akár 100-at), amik mind a koordinátarendszer pontjaiba mutatnak, akkor is igaz marad, hogy bármelyik pontba való eljutáshoz elég csak két vektort felhasználni (lásd paralelogramma-módszer), ezért lesz (definíció szerint) ez a rendszer 2-dimenziós. Viszont olyan is előfordulhat, hogy a fenti 100 vektorból van két vektor, amikkel csak egy egyenes mentén tudunk haladni (síkban ez csak akkor lehet, hogyha a két vektor párhuzamos), ekkor ez a két vektor a koordinátarendszer úgynevezett alterét határozza meg (gyakorlatilag a halmazon belül egy részhalmazt). Nagyobb dimenzióban ugyanez már egy kicsit bonyolultabb, nem elég csak a párhuzamosságot vizsgálni, erre találták ki a lineáris függetlenség vizsgálatát. Ezek alapján bármilyen n-dimenziós térben n-nél kisebb dimenziós alterek is meghatározhatóak, csak megfelelő számú és viszonyban álló vektorokat kell megadni.

Talán segít az is ha megérted milyen a Nemeuklideszi geometria és tér:

[link]

Euklideszi ter az az a vektorter, amin az iskolaban tanult euklideszi skalarszorzat van definialva.

Nem euklideszi ter peldaul a Minkowski ter, amit a relativitaselmeletben hasznalnak, ahol a skalarszorzat a 4D terben:

<x,y>=x1y1-x2y2-x3y3-x4y4