Miért nem lehet egy kört négyszögesíteni euklideszi szerkesztéssel?

Ha egy fizikai kört veszel, akkor az valóban atomokból áll. Ha viszont atomokból áll, amiknek van egy kvázi alakja, akkor már nem körről beszélünk. Olyan ez, mint a monitoron pixelekből kirajzolt kör. Messziről körnek néz ki, de közelebbről nézve látható, hogy nem kör. Illusztráció: [link]

A kör egy matematikai absztrakció. Nem atomokból áll.

Nem vagyok biztos benne, hogy megértetted, mit jelent az euklideszi szerkesztés, kérd. :)

A feladat nem az, hogy bármilyen lehetséges módszerrel oldd meg a feladatot. Ha úgy lenne, akkor egyszerű lenne. Csakis és kizárólag azok az alapvető eszközök állnak a rendelkezésedre, mint az ókori görögöknek is: körző és vonalzó.

Algebrai nyelvre lefordítva, ez azt jelenti, hogy a rendelkezésedre álló műveletek csakis az összeadás, kivonás, szorzás, osztás, és a gyökvonás.

(Hogy miért, azt ezek az ábrák szemléltetik:

[link]

[link]

Ezek azok a szerkesztési lehetőségek, amikkel ugyanúgy megkaphatnál egy aégebrai eredményt.

(Tehát nem kicszámolod papíron, hogy mennyi 2+2, hanem megszerkeszted és leolvasod.)

Megteheted, hogy húzol egy egyenes szakaszt, majd a vonalzóval húzol mellé még egy rövidebb folytatólagos szakaszt; még azt is le tudod mérni, hogy egyenként és együtt milyen hosszúak. Az egyik szakasz hossza legyen mondjuk x, a másik y, együttesen x+y. Azaz képes vagy összeadni.

Ugyanígy tudsz kivonni is: fogsz egy egyenes szakaszt, és lemérsz az egyik végétől valamilyen távolságot. Ahol megjelölöd, az atávolság az előbbi végtől legyen y. Ha az eredeti szakasz hossza volt x, akkor a megjelölt helytől a szakasz MÁSIK végétől most x-y a távolság.

stb.

Hogy világos legyen a feladat, képzelj el egy kört, aminek pontosan 1 a sugara. (Ezt úgy is hívják, hogy "egységsugarú kör".)

Tudjuk, hogy a kör területe r^2*pí.

Ha r=1, akkor egy egységsugarú kör területe pontosan =1*1*pí=pí.

A négyzet területe pedig a^2, ahol 'a' bármelyik oldalának a hossza.

A mi feladatunk az, hogy ez a kettő egyenlő legyen.

Ahhoz hogy egyenlő legyen a területük, azt kell megoldanunk, hogy a^2=pí.

(a^2 egyik oldalon a négyzet területe, pí a másik oldalon a kör területe.)

Tehát a négyzet oldalának a hossza: a=gyök pí.

Hogyan fogod ezt megszerkeszteni?

Elárulhatjuk, hogy sehogy. Nincs olyan módszer, amiből egy egység hosszú körívből egyszerű szerkesztéssel egyenes vonalat lehetne szerkeszteni.

Ez lehet, hogy nem esik le egykönnyen. Tudsz rajzolni egy kört. Tudsz húzni egy egyenes szakaszt. Akkor mi a probléma?

A probléma az, hogy nem tudod átváltani az egyiket a másikba.

Igen, hiába látod a körívet az egyenes szakasz fölött a fenti ábrán:

[link]

nincs olyan szerkesztési módszer, amivel az egyik hosszát át tudnád vinni a másikba.

A pí ugye a kör kerülete, osztva az átmérőjével. De ez az arány sajnos transzcendens szám. Nem hozható létre racionális szám (egész vagy tört) gyökeként.

Eléggé zavaró, de igaz: annyi körívet húzol, amennyit akarsz, és annyi egyenes vonalat is, de nem tudod a kettőt behelyettesíteni egymással.