Mi ez a fogadási paradoxon?

Ez nem paradoxon, egyszerűen az egyenleged felének értéke nagyobb az egészhez viszonyítva, mint a nyereménnyel megnövelt értékhez viszonyítva.

Nyertes stratégia pedig elviekben az lenne, ha minden vesztés után duplázod a tétet. Hisz ekkor ha nyersz, akkor a korábban elbukott tétedet is visszanyered.

A gyakorlatban viszont ez sem nyertes mert ugye a pénzed nem végtelen, vagyis nem tudsz bármeddig duplázni ha egy hosszabb vesztes szériába kerülsz.

"Lehet, hogy nem paradoxon, de én akkor is furcsállom, hogy könnyű vesztes stratégiákat mutatni, de nyerőt nem"

Ugye tudod, hogy ezek így lettek kitalálva? Hogy minél gyakrabban a játékos veszítsen.

#3

Ezt valóban elnéztem. Ugyanakkor szerintem a logikád nem jó. Úgy számolsz, hogy felváltva nyersz és veszítesz, így nem veszed figyelembe azt, hogy egy nyerési sorozatnl exponenciálisan növekszik a pénzed. (Persze egy vesztésinél meg exponenciálisan csökken, de ez sokkal kisebb veszteség.)

Vegünk például egy két elemű sorozatot (induljunk ki 100 pénzből). 4 lehetőség van, minden esetben a következő mennyiságű forintod marad (fej = F, írás = I, tegyük fel, hogy mindig fejre fogadunk):

II - 25

IF - 75

FI - 75

FF - 225

Tehát egyrészt igaz, hogy az esetek 3/4-ében kevesebb pénzed marad, mint amennyi volt, de a maradék 1/4-ben sokkal többet nyersz, mint amennyit egyébként eleve veszítenél. Ha nagyon sokszor eljátszod, 100 Ft körül fogsz kijönni átlagban.

Ugyanez 3 dobással:

1/8 eséllyel lesz 3 írás - 12,5 Ft marad

3/8 eséllyel lesz 2 írás, 1 fej - 37,5 Ft marad

3/8 eséllyel lesz 1 írás, 2 fej - 112,5 Ft marad

1/8 eséllyel lesz 3 fej - 337,5 Ft marad

Átlagosan megint 100 Ft jön ki a végén, amennyiből kiindultál. (És momentán ebben a helyzetben ugyanannyi eséllyel lesz több pénzed, mint kevesebb.)

A várható nyereség mindig 100 Ft marad, de nagyon nem mindegy az eloszlása. Nagyobb eséllyel veszítesz, mint amennyivel nyersz, de ha nyersz, akkor valószínűleg többet nyersz, mint amennyi veszteség várható, ha veszítesz.

Annyit még hozzátennék, hogy az sem mindegy, mire fogadsz.

Az ilyen játékoknál általában éppen ez a probléma.

Az előfordulás valószínűsége minden esetben ötven százalék, mert vagy fej lesz, vagy írás és minden eset különállónak tekinthető, de mivel tudja az ember, hogy hosszú távon ugyanannyi fej és ugyanannyi írás lesz majd, ezért ha nem mindig ugyanarra fogad, hanem váltogatja a téteket, akkor mégis növelheti a nyerés esélyét.

Teszem azt tíz Forinttal fogad általában, de ha sorozatban többször kijön valamelyik oldal, akkor a hosszú távú kiegyenlítődés miatt a másik oldalra

nagyobb téttel fogadva, mert egyszer már annak is nyernie kell, növelheti az esélyét, még akkor is, ha ilyen esély valójában nincs is. Mondjuk három tíz Forintos fej után hússzal fogad az írásra.

Abban az esetben ha előtte nyert, akkor már kockázatosabb lenne tovább is ugyanarra az oldalra tennie, mert egyre nagyobb az esélye annak, hogy a másik oldal jön ki, az a kérdés, hogy mennyit vállal be az ember, hogy kettő, három, vagy több azonos eredmény után vált a másik oldal fogadására.

Valóban 0-hoz tart, de talán azért édremes megnézni, milyen ütemben. Legyen a fejek és írások száma m és n egy tetszőleges sorozatban. Ez alapján az egyenleged a sorozat végén (1,5^m)*(0,5^n). (Ha továbbra is mindig fejre fogadunk.)

Akkor vagy nyereségben, ha (1,5^m)*(0,5^n)>1

Ha kettes alapú logaritmusát vesszük az egyenlőtlenségnek:

log2(1,5^m) + log2(0,5^n) > 0

log2(1,5)*m - n > 0

log2(1,5) = 0,5850

0,5850*m - n > 0

0,5850*m > n

m relatív gyakorisága: m/(m+n)

Ez alapján m relatív gyakoriságának nagyobbnak kell lennie, mint:

m/(m+0,5850*m) = 1/1,5850 = 0,6309

Ha a dobások száma nagyon nagy, akkor a binominális eloszlás jó közelítéssel normál eloszlásnak fog megfelelni.

[link]

n*p lesz az átlag, és n*p*(1-p) a variancia, ahol n a dobások száma, p a fej valószínűsége. (Ez nyilván nem ugyanaz az n, mint az előző! Tudom, hogy nem szerencsés, de mivel a linkben már ez a jelölés van, én is inkább ezt használom. Az előzőt meg lusta vagyok átírni.)

Esetünkben p = 0,5, tehát az átlag:

0,5*n

a variancia:

0,5^2*n

A szórás:

0,5*négyzetgyök(n)

Például ha az átlag + a szórás összege megegyezik a fent kiszámított 0,6309-el, akkor az esetek 15,8%-ában nyerünk.

0,6309*n = 0,5*n + 0,5*négyzetgyök(n)

0,1309*n = 0,5*négyzetgyök(n)

0,1309^2 * n^2 = 0,25*n

0,1309^2 * n = 0,25

n = 0,25/(0,1309^2)

n = 14,58

Hát ez tényleg nem volt túl hosszú sorozat...

Ha átlag plusz két szórással is beérjük (az esetek 2,2%-ban nyerünk)

0,6309*n = 0,5*n + 2*0,5*négyzetgyök(n)

0,1309^2 * n^2 = n

n = 1/0,1309^2

n = 58,33

Szóval igen, ezzel a stratégiával minél hosszabb a sorozat, annál nagyobb eséllyel kerülünk ki vesztesen. Persze ha nyerünk, akkor viszont jó eséllyel nagyon sokat. (Így visszanézve nem biztos, hogy olyan sokat hozzátesz a kérdéshez ez a számolgatás, de mikor elkezdtem, még nem voltam benne biztos, mi fog kijönni, aztán meg már csak befejeztem.)

Ha olyan stratégiát akarsz, ahol várhatóan ugyanakkora eséllyel jössz ki nyertesen, mint vesztesen, akkor mindig ugyanannyit tegyél fel, függetlenül az előzményektől. Persze elvileg itt is lehet, hogy kifogysz a pénzből. De ha végtelen kört feltételezhetünk, akkor végtelen mennyiségű rendelkezésre álló pénzt is. :) (Mondjuk akkor minek játszanánk...?) Ha meg véges számú (legyen n) kör van, akkor meg mindig az 1/n-ed részté feltéve az eredeti teljes vagyununknak biztos, hogy legrosszabb esetben is csak a végére tapsoljuk el az összeset.