A páros számjegyek mindegyikének felhasználásával hány darab ötjegyű kilenccel osztható szám készíthető?

A 9-cel osztható számok számjegyeinek összege osztható 9-cel.

0+2+4+6+8=20

A 20 nem osztható 9-cel.

Nincs ilyen szám.

Ha mindegyik számjegy különböző, akkor valóban 0-féle ötjegyű szám van.

Mivel a kulcsszavaknál szerepel az ismétlődés, ezért felteszem, hogy a páros számjegyek többször is felhasználhatóak.

Kezdjük azzal, amivel az első válaszoló is kezdte; egy egész szám akkor osztható 9-cel, hogyha számjegyeinek összege 9. Most a kérdés az, hogy hogyanlehet összeszedni a számjegyeket, hogy azok összege osztahtó legyen 9-cel.

Először is, ha minden számjegy a lehető legnagyobb lenne, akkor a 88888 számot kapnánk, ebben a számjegyek összege 40. Ez azt is jelenti, hogy a számjegyek összege nem lehet 40-nél nagyobb, így csak az annál kisebb számok jöhetnek szóba összegnek.

Mivel páros számok összege szintán páros, ezért mi páros 9-cel osztható számokat keresünk, vagyis 18-cal oszthatóakat. Szerencsére csak két szám osztható 18-cal, az maga a 18 és a 36.

Én innen ismétléses kombinációval tudnám folytatni, ami emelt szintű anyag, szóval kellene tudni, hogy milyen szinten vagy matekból, illetve hogy jelen pillanatban mit vesztek.

"A 0 az nem páros szám."

Hanem?

Jobban meggondolva, kezdjük azzal, hogy hány esetben lesz a számok összege 36. Mivel a 88888 esetén a számjegyek összege 40, ezért az a kérdés, hogy hogyan tudunk 4-et elvenni. Hát így:

-vagy csak az egyik számjegyből veszünk el 4-et, ekkor a 88884 számsort kapjuk, ebből ránézésre 5-féle ötjegyű számot tudunk kialakítani, ígyébként pedig 5!/4!-féleképpen, ami szintén 5.

-vagy két számjegyből veszünk el 2-2-t, ekkor a 88866 számsort kapjuk, ebből 5!/(3!*2!) = 10-féle számot tudunk kirakni.

Összesen tehát 15 olyan szám van, ahol a számjegyek összege 36.

A 18-as összeg esetén úgy szedjük össze az eseteket, hogy melyik a legnagyobb számjegy;

-ha csak 2-es lenne benne, akkor az összeg 10 lenne, ami kevés.

-ha csak 4-es lenne benne, akkor az összeg 20 lenne, ebből 2-t le kell vonnunk, így a 44442 számsort kapjuk, ebből 5-féle szám készíthető.

-ha csak 6-os lenne benne, akkor az összeg 30 lenne. Itt összesen 12-t levonni sokféleképpen lehet, úgyhogy stratégiát váltunk, és aszerint vizsgálódunk, hogy hány 6-os van a számjegyek között;

--ha 3 6-os van, akkor az összeg 18, tehát a 66600 számsorral már lehet valamit kezdeni. Ismétléses permutációval 5!/(2!*3!)=10 jön ki, azonban ebben benne vannak a 0-val kezdődő számok is, így ezeket le kell vonnunk, ezekből 4!/3!=4 van, így 10-4=6-féle ötjegyű szám készíthető.

--ha 2 6-os van, akkor 6-ot kell összeszedni 3 számból. Lehetőségek:

66420, ezekből 5!/2! - 4!/2! = 60 - 12 = 48 lehetőség van.

66222, itt 5!/(3!*2!) = 10 lehetőség van.

Más mód nincs.

--ha 1 6-os van, akkor ezt még 12-vel kell pótolni;

64440 -> 5!/3! - 4!/3! = 20 - 4 = 16

64422 -> 5!/(2!*2!) = 30, más megoldás nincs.

Lehet 8-as is a legnagyobb, itt két főesetet tudunk szétválasztani;

-két 8-as van benne:

88200 -> 5!/(2!*2!) - 4!/2! = 30 - 12 = 18, más nincs

-egy 8-as van benne, ekkor a maradéknak 10-nek kell lennie:

86400 -> 5!/2! - 4! = 60 - 24 = 36

86220 -> 5!/2! - 4!/2! = 60 - 12 = 48

84420 -> 5!/2! - 4!/2! = 60 - 12 = 48

84222 -> 5!/3! = 20

Az esetekben számolt eredményeket összeadva kapod meg, hogy hányféle 9-cel osztható ötjegyű, csak páros számjegyet tartalmazó szám kreálható.

"Hanem?"

Bocsánat, nem voltam pontos: Definiálhatjuk úgy is, hogy nem tartozik bele a páros számok halmazába.

Olvasd el ezt:

[link]