Egy halmaz részhalmazai is a halmaz elemei?

A halmazelem azért "elem", mert ezekből tevődik össze a halmaz. A "részhalmaz", mint neve is mutatja, nem elem, hanem elemek egy összessége. Az "összesség", bármiféle is, nem eleme a halmaznak.

Kizárólag az egyelemű halmazra igaz, hogy összes részhalmaza is eleme az eredetinek. De még ez se igaz akkor, ha azt a bizonyos elemet halmaznak tekinted.

Például vegyük az A={1,2} kételemű halmazt. Itt a halmaz eleme két természetes szám. Ezekből az {1} lehet egy részhalmaz. Ez az {1} nem eleme A-nak, csak az 1 eleme. De beletehetjük: B={1,2,{1}}. Ez egy olyan halmaz, amelynek elemei a 1 és természetes számok, valamint az egyelemű {1} halmaz.

> Pl. A:={a;b;c;d} , B:={a;b} , ez részhalmaza A-nak

> D:={x;y;k;m;{a;b}}={x;y;k;m;{B}}

Nem…

D := {x;y;k;m;{a;b}}={x;y;k;m;B}

D ≠ {x;y;k;m;{B}}

és

D ≠ {x;y;k;m;a;b}

B ≠ {B}

{a;b} ≠ { {a;b} }

…

~ ~ ~

De a matematika valós dolgok absztrakciója, így a halmazelmélet is. Ha elkezded lefordítani valós természetű dolgokra a halmazt, az elemeket, részhalmazokat, akkor érthetőbbé válnak a dolgok. Pl. ha van egy olyan halmazod, aminek az a neve, hogy „Magyarország települései”, akkor ezen halmaz elemei települések. Ebből lehet részhalmazt képezni. Pl. „Megyei jogú városok”. Ez részhalmaza a „Magyarország települései” halmaznak, de ő maga nem elem annak, hiszen nem település. Mármint az, hogy „Megyei jogú városok”, az nem egy település.

Pl. lehet részhalmazokat alkotni mondjuk a városok kezdőbetűivel. Pl.:

„Sz betűvel kezdődő megyei jogú városok” := {Szeged; Székesfehérvár; Szekszárd; Szolnok; Szombathely}

De lehet olyan halmaz, aminek egy eleme van. Pl.:

„B betűvel kezdődő megyei jogú városok” := {Békéscsaba}

De figyelem!

{Békéscsaba} ≠ Békéscsaba

Pont úgy, mint ahogy

{Szeged; Székesfehérvár; Szekszárd; Szolnok; Szombathely} ≠ Szeged

{Szeged; Székesfehérvár; Szekszárd; Szolnok; Szombathely} ≠ Székesfehérvár

stb…

Sőt ugye lehet olyan halmaz, aminek nincs eleme:

„C betűvel kezdődő megyei jogú városok” := { }

De ettől ez még ugyanúgy halmaz. Halmaz, csak éppen 0 darab eleme van.

Az egy kicsit már félreérthetőbb, amikor egy halmazt úgy alkotunk meg, hogy annak elemek és halmazok (mint elemek) is részei. Pl. mikor azt mondjuk, hogy „a megyei jogú városok, meg Mosonmagyaróvár, Komárom, Esztergom, akkor a való életben itt nem a „Megyei jogú városok” halmazára, hanem ezen halmaz elemeire gondolunk. A matematikában viszont nem ez az értelmezés.

A := {a; b}

B := {c; d; A}

Akkor B halmaznak 3 eleme van. Az ami definícióként felsorolásra került. És bár az egyik elem – A – önmaga egy halmaz, attól még B-ben elemként vesz részt.

Keresek erre is egy példát. Pl. Orbán Viktor újévi jókívánságokat küld. Hogy kiknek? Legyen ez egy „címzettek” nevű halmaz, jelöljük C-vel:

C = {Áder János; Polt Péter; Dr. Sulyok Tamás; …; Debrecen városa; Szeged városa; Miskolc városa; …}

Nyilván a város nem egy személy, a városnak küldött levelet majd az arra illetékes kapja meg, mondjuk a város polgármestere.

Viszont itt én hiába vagyok Debreceni, azaz a "Debrecen lakói” halmaz eleme – azaz Debrecen = {én; Józsi; Béla; …} –, és hiába van „Debrecen városa” Orbán Viktor címzettjeinek listáján, én magam nem vagyok címzettje Orbán Viktor levelének, nem jön ki a posta egy levéllel, hogy „ezt itt kérem szépen Orbán Viktor személyesen önnek, X. Y.-nak küldte”.

Ezt is hamar össze szokták keverni, aztán szokták is tisztázni; az "áthúzott O" és a {} is az üres halmaz jelölése, viszont a {"áthúzott O"} már egy olyan halmaz, amelynek egy eleme van, az üres halmaz, tehát ez nem üres halmaz. (És itt szokott jönni az a klasszikus vicc, hogy a semmi is valami: semmi.)

Viszont vigyázzunk azzal, hogy hétköznapi példát hozunk a témára, mert könnyen lehet olyat is hozni, ahol ugyanez nem működik; vegyünk egy olyan halmazt, hogy

kenyér:={liszt, tojás, kovász, só, ...}, majd egy olyan halmazt, hogy

szendvics:={kenyér, sonka, sajt, vaj, ...}

Namost, a kérdés az, hogy egy lisztérzékeny ember megeheti-e a szendvicset? Érthető okokból, a szendvicsben nincs liszt, amire érzékeny lehetne, tehát a matematikai definíció szerint nem lenne vele problémája, de a való életben nem ez a helyzet.

"Józan paraszti ésszel" ez a szemlélet az, ami nehezíti a halmazelmélet megértését (hozzátehetjük, jogosan), és érdemes megjegyezni, hogy nem mindegyik szemlélet jó, hogyha szemléltetni akarunk.