Egy halmaz részhalmazai is a halmaz elemei?
Nem. A halmaznak az elemei meg vannak határozva. Az elemek egy csoportja egyenként elem, együttesen nem elem.
2019. dec. 27. 23:31
Hasznos számodra ez a válasz?
És itt szokott elkezdődni a kavarodás az elem és a részhalmaz fogalmak megértésében.
Ha egy halmaz egy másik halmaznak eleme, akkor a belső halmaz elemei nem elemei az külső halmaznak. Például a {Z} halmaz egy elemű, hiába van a Z halmaznak végtelen sok eleme.
Viszont adható meg olyan halmaz, amelynek ugyanaz a halmaz részhalmaza is és eleme is, például az {a;b;c;{a;b;c}} halmaznak eleme is és részhalmaza is az {a;b;c} halmaz.
2019. dec. 28. 00:05
Hasznos számodra ez a válasz?
A halmazelmélet egy meglehetősen nagy téma. Talán maradjunk a kérdés megválaszolásánál. A sokféle tulajdonság felemlegetése csak további zavart kelt.
2019. dec. 28. 00:28
Hasznos számodra ez a válasz?
4/22 A kérdező kommentje:
"Ha egy halmaz egy másik halmaznak eleme, akkor a belső halmaz elemei nem elemei az külső halmaznak."
A részhalmaz eleme és a külső halmaz eleme közös, egymás metszetei. Különben nem lehetne részhalmaza a külső halmaznak. A definíció is így szól, hogy az A halmaz részhalmaza B halmaz, ha B halmaz minden eleme A-nak is eleme. Tehát a B részhalmaz minden eleme a külső A halmaznak is eleme. Vagy pedig én értettem félre valamit.
5/22 A kérdező kommentje:
De egyébként pont ezért tettem fel a kérdést, mert én sem voltam benne biztos, de mindenhol csak a részhalmaz fogalmát találom, tehát biztos hogy a részhalmaz elemei a külső halmaz elemeinek egy csoportja.
De induljunk ki a hatványhalmazból. A hatványhalmaz hány elemet tartalmaz? |P(H)| > |H|
Tehát a hatványhalmaz számossága nagyobb, mint az eredeti halmaz számossága. Márpedig a hatványhalmaz halmazokat tartalmaz, de az elemei ugyan azok, mint az eredeti halmaznak, csak különböző kombinációkban (nem tudom ez a jó szó e rá). Ergo az eredeti halmazban az elemek voltak az elemek, a hatványhalmazban meg a részhalmazok az elemek, mert ha nem azok lennének az elemnek, akkor továbbra is csak annyi eleme lenne, mint az eredeti halmaznak.
6/22 A kérdező kommentje:
De ha az eredeti halmazt úgy számolnánk ki, mint a hatványhalmazt, akkor minden halmaznak kettővel több eleme lenne, mert minden halmaznak részhalmaza az üres halmaz, és minden halmaz saját magának is részhalmaza. Ergo minden halmaz tartalmaz alapból két részhalmazt. Viszont akkor akármelyik halmaznak a hatványhalmazként való felírása lenne az elfogadott, hiszen egy 4 elemű halmaz tartalmazza azokat a részhalmazokat, amiket alkothatunk. Pl. {a;b;c;d} halmaz tartalmazza az {a;d} részhalmazt is, mégsem írjuk úgy le, mint az eredeti halmaz eleme. Tehát nagyon függ attól, hogy az eredeti elemek mellett mi magunk hogyan és mely elemeket soroljuk részhalmazba.
7/22 A kérdező kommentje:
Tehát akkor egyedül a hatványhalmaz az, ahol az elemek az eredeti halmaz részhalmazai. Minden más esetben az elemek maguk az elemek, de ha úgy döntünk, akkor tetszőlegesen adott részhalmazok is elemek lehetnek. Én úgy gondolom, hogy ilyenkor a részhalmaz külön elem az eredeti elemeken kívül. Pl. az {a;b;{c;d}} halmaz egy 5 elemű halmaz, hiszen van négy eleme, plusz a részhalmaz.
8/22 A kérdező kommentje:
De ha nem így van, akkor megint fölvetül az eredeti kérdés, hogy egy halmaz részhalmaza is az adott halmaz eleme-e? Vagy csak egy részhalmaza, amit mi adott esetben tetszőlegesen elemnek tekinthetünk, amúgy meg csak az eredeti elemek az elemek. Vagy ha egy részhalmaz alapból elem, akkor a részhalmaz elemei nem elemei a külső halmaznak, de ez ellentmondás a részhalmaz definíciójával.
Pl a halmaz a magyar focicsapatok halmaza. Ennek elemei a Fradi, a Diósgyőr, a Haladás. Rész halmaza pl a (Fradi & Haladás) csapatokból álló halmaz. De a (Fradi & Haladás) nem eleme az eredeti halmaznak, hisz az nem egy csapat. Ugyanígy a Fradi játékosai is csak a Fradi csapatnak (halmaznak) elemei, egy játékos sem alkot önálló csapatot, így az eredeti halmaznak nem eleme.
2019. dec. 28. 04:29
Hasznos számodra ez a válasz?
A részhalmaz egy “kreált” halmaz, nem egy elem. Természetesen, ha egy reszhalmazt hozzáadász a halmazodhoz (pl Hatvany halmaz, vagy a fenti {3,4,{3,4}} példád), akkor azok a reszhalmazok éppenséggel elemei is lesznek, de meg akkor is marad olyan reszhalmazod, ami nem eleme.
2019. dec. 28. 04:37
Hasznos számodra ez a válasz?
Kapcsolódó kérdések:
válasza:
válasza: