Helyes az a szó, hogy fiaiéi?

Ha pl. valakinek több fia van, és nekik közösen van pl. egy zacskó aranyuk.

A zacskó a fiaié - az aranyak a fiaiéi.

Helyes, igen :)

A fiainak a tulajdonaára vonatkozik az utolsó i.

Az -i a birtok többesítő jel, tehát valakinek több valamije van, pl. fiai.

Ugyanez az -i van a fiaiéi végén is, csak akkor már a fiai valamijeiből van több: fiaiéi.

Ez a fiai levele: ez a fiaié.

Ezek a fiai levelei: ezek a fiaiéi.

De ezt nyogodtan lehet folytatni további birtokokkal is:

Ez a fiai leveleinek a dossziéja: ez a fiaiéié.

Ezek a fiai leveleinek a borítékjai: ezek a fiaiéiéi.

Bélának van három fia. A három fiúnak van egy macija, tehát az a maci a fiaié.

Jenőnek van három fia. Mindhárom fiúnak van egy-egy macija, tehát a három maci a fiaiéi.

Egyébként a magyar ez az a szó, amiben a legtöbb magánhangzó van egymás után.

"ez az a szó, amiben a legtöbb magánhangzó van egymás után."

Nézőpont kérdése... A 'fiaiéiért' eggyel több. A 'niueiéiért' (egy Niue szigetéről származó ember tulajdonai miatt/céljából) pedig kettővel.