Matekfeladatban segítség?

Az a)-ban ki lehet számolni a konkrét értéket is, a wolfram alpha legalábbis ki tudja, nem annyira nagy.

De amúgy igen, modulo-t kell venni minden számból, ezt meg lehet tenni. Nem triviális, hogy a kitevőből is lehet, de végül is igaz.

A második egyszerűen:

(3^(3n+2))+4 = (27^n)*3^2 + 4 = 9*(26+1)^n +4

De mivel (26+1) 13-mal osztva 1 maradékot ad, minden hatványa is 1 maradékot ad. Emiatt a keresett kifejezés maradéka 9*1 + 4 = 13 miatt 0.

A harmadik:

Én átírtam k = n-1 új ismeretlenre:

13^(k+1) + 3*(5^k) + 8 = 13* 13^k + 3* 5^k + 8

Nézzük az oszthatóságot 3-mal!

13-nak 1 a maradéka, tehát 13^k -nak is.

Ekkor 13*1 + 3*bármennyi + 8 osztható 3-mal.

Nézzük 8-cal az oszthatóságot!

13 maradéka 5, azaz 13^k ugyanannyi maradékot ad, mint 5^k.

Tehát az egész ugyanannyi maradékot ad, mint 13* 5^k + 3* 5^k + 8 = 16 * 5^k + 8 de ez épp osztható 8-cal.

Ha 3-mal és 8-cal is osztható, akkor 24-gyel is!

Minden 7-tel nem osztható szám 6-odik hatványa 1 maradékot ad 7-tel osztva. (próbáld ki - ez a kis Fermat- tétel.)

A megoldáshoz a kongruencia jelét használom, ezt: ≡

Ez azt fogja most jelenteni, hogy két szám ugyanannyi maradékot ad 7-tel osztva.

Tehát: 333^444 + 444^333 ≡ 4^444 + 3^333 = 4^(74*6) + 3^(55*6+3) =

= (4^6)^74 + (3^6)^55 * 3^3 ≡ 1^74 + 1^55 * 27 = 1+27 = 28 ≡ 0

Tehát 0 a maradék 7-tel osztva...