Hogy kell ezt az OKTV döntős geometriai feladatot megoldani?

Biztos jól írtad le a feladatot?

Egy háromszög beírt körének minden oldal az érintője, így egy oldallal "párhuzamos" érintő csak maga az oldal lehet.

Legyen p = DE/BC.

A DEI háromszög területe DE*r/2.

Az ABC háromszög területe BC*m_A/2 (m_A az A csúcstól BC felé mért magasság).

BC = DE/p.

m_A = 2r/(1-p) hasonlóság miatt, mivel a DE szakasz az A magasságvonalát p : (1-p) arányban osztja, és az alsó (1-p) része egyenlő a beírt kör átmérőjével.

Ezekből már ABC háromszög területe átírható (DE/p)*2r/(1-p)/2 alakba, amit DEI háromszög DE*r/2 területével leosztva 2/(p*(1-p)) a területek aránya.

p értelemszerűen 0 és 1 közé esik, p(1-p) maximuma 1/4 (ennek belátásához sajnos lehet hogy differenciálni kell, kijön hogy p=1/2-re maximális, ahol az értéke 1/4) így a teljes háromszög legalább nyolcszor akkora mint a DEI.

Legyen

a - a BC szakasz

ma - az 'a' oldalhoz tartozó magasság

a' - a DE szakasz

t - a DIE háromszög területe

T - az ABC háromszög területe

A megoldás stratégiája: felírjuk a keresett területarány (t/T) egyenletét, majd abból meghatározzuk a lehetséges nagyságát.

A területarány

A kis háromszög területe

t = a'*r/2

mivel r = T/s

t /T = a'/2s

Az ABC és a DIE hasonló háromszögekből

ma/a = (ma -2r)/a'

ebből

a'/a = 1 - 2r/ma

de

r = T/s

ma = 2T/a

így

a'/a = 1 - a/s

amiből

a' = a(1 - a/s)

ezt behelyettesítve a területarány képletébe

t/T = (a/2s)(1 - a/s)

********************

legyen

t/T = n

a/s = q

ezekkel

n = q(1- q)/2

Műveletvégzés és rendezés után

0 = q² - q + 2n

Megoldás nélkül a diszkrimináns

D = 1 - 8n ≥ 0

1 ≥ 8n

amiből

n ≤ 1/8

illetve

t ≤ T/8

=====

Q.E.D

DeeDee

*********