Hogy kell ezt a geometriai feladatot megoldani?

Tekintsük először az ABD háromszögből kimetszett h1 húrt! Állítsunk erre az ABD-be írt (r1 sugarú) kör O1 középpontjából merőlegest! Ha ennek a talppontja T1, akkor h1 éppen kétszerese az O1ET1 derékszögű háromszög ET1 befogójának, így

h1 = 2 * r1 * cos(O1EF) = 2 * r1 * sin(AEF)

(hiszen AEF+O1EF = 90.)

Ha hasonlóan, az ADC háromszög beírt körének középpontja O2, sugara r2, a kimetszett húr h2, akkor

h2 = 2 * r2 * sin(EFA).

Így

h1/h2 = r1/r2 * sin(AEF)/sin(EFA).

A szinusztétel miatt

h1/h2 = r1/r2 * AF/AE.

Az AEO1 derékszögű háromszögből

tg(alfa/2) = r1/AE,

az AFO2 derékszögű háromszögből

tg(alfa/2) = r2/AF,

így

r1/AE = r2/AF,

vagyis

r1/r2 = AE/AF.

Ezt az előző összefüggésbe helyettesítve

h1/h2 = 1

adódik, ami a bizonyítandó állítás.

Bocsánat, az utolsó előtti lépésben elírtam, alfa/2 helyett alfa/4 kell, de ez a lényegen nem változtat:

tg(alfa/4) = r1/AE,

tg(alfa/4) = r2/AF.

Én is megértettem, de kicsit durva volt nekem... Hogyan jöttél rá?

Nincs valami elemi módszer? Töröm a fejem...

Úgy találtam ki a megoldást, hogy először elkezdtem mindent kifejezgetni az oldalakkal, majd észrevettem, hogy egy csomó mindenre, aminek elég csúnya a kifejezése, nincs is szükség, csak az arányukra.

Egyébként azt a két tg(alfa/4)-et sem kellett volna felírnom, csak észrevenni, hogy az AEO1 és AFO2 háromszögek hasonlóak, és már adódik is az

r1/AE = r2/AF

összefüggés. (Bár ez nyilván nem lényegi változtatás, hiszen a tg definíciója mögött is ez a hasonlóság van, csak így még egyszerűbb lett volna elmondani a megoldást.)