Komplex szám: mi 3+4i gyöke?

Az alapötlet (amihez legkevesebbet kell gondolkozni) az az, hogy keressük a gyököt x + y*i alakban, ahol x és y valósak, ekkor

(x + y*i)^2 = x^2 – y^2 + 2*x*y*i = 3 + 4*i,

azaz

(1) x^2 – y^2 = 3,

(2) 2*x*y = 4;

ami egy sima másodfokú egyenletrendszer.

Másik lehetőség, hogy átírjuk trigonometrikus alakra, hogy

3 + 4*i = 5*(3/5 + i*4/5) = 5*(cos(arccos(3/5)) + i*sin(arcsin(4/5))) = 5∠arccos(3/5),

aminek a négyzetgyöke az a komplex szám (és annak a –1-szerese is), aminek a nagysága gyök(5), és az argumentuma az eredeti fele, tehát arccos(3/5)/2.

A két módszer közül megy valamelyikkel?

Illetve itt tudod majd ellenőrizni magad:

[link]

(Az egyenletrendszerrel szerintem egyszerűbb lesz.)

Nem rossz megoldás, amit a #1-es említ, az első módszere kifejezetten tetszik.

Egy harmadik módszerként említeném kiegészítés gyanánt, hogy az exponenciális alakban történő felírás ilyen példáknál tipikusan célravezető.

Ugye az exponenciális alak az definíció szerint az Euler-alak, és az elég egyértelműen megfelel a trigonometrikus alaknak, szinte csak a jelölés más, lényegében ugyanaz. (Még a 2*pi*k-t is be lehet tenni a sin és cos argumentumába, és akkor nem kell emlékezni a –1-gyel szorzásra, hanem magától kijön, ahogy arra a 20:51-es rámutat.)

Ami miatt az algebrai alakkal történő megoldást javaslom az az, hogy ha valaki megkérdezi az eredmény algebrai alakját, akkor rendesen kiszámolni a

sin(arctg(4/3)/2) és cos(arctg(4/3)/2)

értékeket legalább annyi munka, mint megoldani az egyenletrendszert, csak itt a trigonometrikus azonosságokat kell vágni, ami általában kevésbé rutinosan megy az embereknek. (Persze, a számológép simán kiköpi őket, de abból még nem tudhatod, hogy a megjelenített érték egzakt-e.)

> „Euler formulában ez a szám 5e^(fi*i + 2k*pi).”

Itt kell még egy i a kitevőbe (különben a valós rész exponense az abszolút értéket szorozza): 5*e^(fi*i + 2*k*pi*i).

5# tényleg.:)

Fura így begépeli, mindig csak írásban csináltam, igen az egész kitevö van i-vel szorozva.