Együttes munkavégzés?

Első lépésként picit átirogatom a számokat, mert így könnyebb lesz számolni velük.

,,Egy medencébe 3 cső vezet. Az elsőn át ⁵/₂ óra alatt, a másodikon 3 óra alatt, a harmadikon ³/₂ óra alatt telik meg a medence. Egy alkalommal mindhárom csövet együttesen működtetik, de ⅜ óra után a harmadik csövet elzárják. Mennyi idő alatt telt meg így a medence?!!

Nézzük egyelőre csak a mondat első felét!

,,Az elsőn át ⁵/₂ óra alatt, a másodikon 3 óra alatt, a harmadikon ³/₂ óra alatt telik meg a medence.!!

Ezt úgy is írhatnánk (ugyanaz):

1) Az első cső (egymagában) 5 óra alatt képes lenne 2 teljes medencét is megtölteni (világos, hisz épp kétszer annyi ideig működtetjük, mint amennyi az egyszeres megtöltéshez kéne).

2) A második cső (egymagában) 3 óra alatt képes lenne egy teljes medencét megtölteni.

3) A harmadik cső (egymagában) 3 óra alatt képes lenne 2 teljes medencét is megtölteni.

Most működtessük egyszerre mindhárom csövet 15 óra hosszan (tehát ebben könnyítsünk kissé az eredeti feladaton!).

1) Az első cső (egymagában) 5 óra alatt képes lenne 2 teljes medencét is megtölteni, tehát 15 óra alatt ennek a mennyiségnek a 3-szorosát nyújtja: 6 medencényi vizet ad.

2) A második cső (egymagában) 3 óra alatt képes lenne 1 teljes medencét megtölteni, tehát 15 óra alatt ennek a mennyiségnek az 5-sszorosát nyújtja: 5 medencényi vizet ad.

3?) A harmadik cső (egymagában) 3 óra alatt képes lenne 2 teljes medencét is megtölteni, tehát 15 óra alatt ennek a mennyiségnek az 5-szorosát nyújtja: 10 medencényi vizet ad.

Ha nem lenne a példában az a bonyolítás, hogy a harmadik csövet menet közben elzárjuk, akkor máris tudnánk a választ. A három cső 15 óra alatt összesen 6 + 5 + 10 medencényi vizet ad, vagyis 21 medencényit. Tehát 15 óra alatt 21 medencényit töltenének meg, vgyis egy medencét 21-ed ennyi idő alatt is megtöltenének, azaz ¹⁵/₂₁ óra alatt.

Azonban a példa sajnos ennél bonyolultabb: figyelembe kell venni, hogy a harmadik csövet időközben elzárjuk. No hát akkor most nézzük az eredeti, bonyolultabb példát:

A harmadik cső ⅜ óra hosszan olyan iramban működik, hogy azzal az irammal megszakítás nélkül elvileg 3 óra alatt képes lenne 2 teljes medencét is megtölteni. Szóval 3 óra alatt 2 medencényi vizet adna, de ennek a háromórás időtartamnak csak nyolcadrésze alatt van nyitva. Nyilván akkor a nyújtott vízmennyiség is nyolcadannyi lesz: 2 medencényi helyett ²/₈ mendencényi, vagyis ¼ medencényi víz jön ki összesen a harmadik csőből megszakított működése során.

Tehát a másik két csőnek ¾ medencényi vizet kell megtöltenie.

A feladatot megfogalmazhatnánk így is:

,,Egy medencébe 2 cső vezet. Az elsőn át ⁵/₂ óra alatt, a másodikon 3 óra alatt telik meg a medence. Egy alkalommal mindkét csövet együttesen működtetik, a medencében előre kikészítve ¼ részig már eleve van víz. Mennyi idő alatt telik meg így a medence (vagyis mennyi idő alatt jön hozzzá a hátralevő ¾ medencényi viz a csövekből)?!!''

1) Az első cső (egymagában) 5 óra alatt képes lenne 2 teljes medencét is megtölteni, tehát 15 óra alatt ennek a mennyiségnek a 3-szorosát nyújtja: 6 medencényi vizet ad.

2) A második cső (egymagában) 3 óra alatt képes lenne 1 teljes medencét megtölteni, tehát 15 óra alatt ennek a mennyiségnek az 5-sszorosát nyújtja: 5 medencényi vizet ad.

A két cső 15 óra alatt összesen 6 + 5 medencényi vizet ad, vagyis 11 medencényit.

Tehát 15 óra alatt 11 medencényit töltenének meg, a kérdés pedig az, hogy mennyi idő alatt nyújtanak ¾ medencényi vizet?

Képzeletben cseréljük ki a medencét egy negyedannyi kicsire.

15 óra alatt 44 kismedencényit töltenének meg, a kérdés pedig az, hogy mennyi idő alatt nyújtanak 3 kismedencényi vizet?

Fogalmazzuk át kérdést:

,,15 óra alatt 44 kismedencényit töltenének meg''

az ugyanaz, mintha azt mondanám:

,,45 óra alatt 132 kismedencényit töltenének meg''

hiszen egész egyszerűen csak háromszorosra vettem az időt is, és a kiömlő víz mennyiségét is.

Szóval a feladat akár úgy is kimondható lenne:

,,45 óra alatt 132 kismedencényit töltenének meg, a kérdés pedig az, hogy mennyi idő alatt nyújtanak 3 kismedencényi vizet?''

Most már csak azt kell látnunk, hogy 3 éppen a 44-ed része a 132-nek (hiszen 3⋅44 = 132).

Tehát a kérdés immár:

,,45 óra alatt tudjuk mennyi kismedencényit töltene meg az első két cső, a kérdés pmár csak az, hogy mennyi idő alatt nyújtanak 44-ed annyi vizet?''

44-ed annyi vizet nyilván éppen 44-ed annyi idő alatt nyújtanak.

Vagyis ⁴⁵/₄₄ óra alatt.

Ellenőrizzük a Wolfram Alpha-val:

[link]

Úgy látom, ő is ezt mondja: ⁴⁵/₄₄ óra alatt.

Ez persze afféle ,,szemléletes'' megoldás akart lenni. A tanár által elvárt megoldás valószínűleg nem ez! (vagy ha igen, akkor sem CSAK ez!)

Valószínűleg az iskola arra (is) számít, hogy bevezess egy fogalmat: az egyes csövek VÍZHOZAMÁT. Ezen afféle ,,sebességet'' értünk, szóval azt, hogy egy adott cső egy óra alatt hány medencét töltene meg vízzel, ha éppen egy óra alatt működtetnénk egyenletesen.

Ez alapján már fel lehet állítani egy egyenletet, olyat, amilyet az előbb a Wolfram Alpha-nak is feladtam. Tehát a feladatot átfogalmazzuk egy matematikai egyenlet nyelvére. Az egyenlet megoldása adja a kívánt eredményt.

Ha valakit csak a puszta megoldás érdekel, a 2. oldalon "Matek példa!? Vki segítsen!" című kérdésre adott választ ajánlom, amiben egy logikus, világos megoldás található.

Mivel ez más a sokadik hasonló feladat, jó szokásomhoz híven egy általánosított megoldást vázolnék fel.

Az ilyen típusú feladatokat a következőképp lehet megfogalmazni: egy adott térfogategységet (a nagysága lényegtelen) - kádat, medencét stb. - kell különböző vízhozamú forrásokkal feltölteni. A kérdés a feltöltés ideje.

Ez matematikailag az y = 1/x hiperbolának felel meg.

Mindkét oldalt x-el beszorozva

x*y = 1

Pontosan az a formula, amire szükségünk van, hiszen egy egységnyi mennyiséget kell előállítanunk két mennyiség szorzataként.

Esetünkben az x tengelyen legyen az idő (t),

az y tengelyen pedig a vízhozam, az időegység alatt átfolyó mennyiség (m).

Így a hiperbolánk egyenlete

t*m = 1

A hiperbola egy pontjához tartozó idő ('t' tengely) jelenti a feltöltési időt, ha a forrás egyedül töltené fel az egységet.

Az 'm' tengelyen leolvasható a forrás vízhozama (m = 1/t)

Azt a kitételt, hogy egy vagy több forrás nem a teljes feltöltési ideig működik, egy 'z' (zárva) idővel lehet figyelembe venni.

Ha a forrás a teljes feltöltési időben nyitva van, ennek értéke 0.

Ezek után matematikai formába lehet önteni a feladatot.

A jelölések

T - a feltöltés ideje

t1, t2, t3 - a feltöltéshez szükséges idő ha a forrás egyedül működne

m1, m2, m3 - a források vízhozama

z1, z2, z3 - a források zárva tartási ideje.

Az idők természetesen ugyanazon mértékegységben helyettesítendők.

A források működési ideje (T - z), ezalatt 'm' vízhozamukkal töltik a medencét.

Lefordítva a matek nyelvére

(T - z1)m1 + (T - z2)m2 + (T - z3)m3 = 1

Felbontva és átrendezve

T(m1 + m2 + m3) = 1 + m1*z1 + m2*z2 + m3*z3

(1) T = (1 + m1*z1 + m2*z2 + m3*z3) / (m1 + m2 + m3)

Mivel a vízhozamot nem ismerjük, csak a hozzá tartozó időt, ezért az

m = 1/t

helyettesítéssel

(2) T = (1+ z1/t1 + z2/t2 + z3/t3) / (1/t1 + 1/t2 + 1/t3)

A feladat adatai

t1 = 2,5 óra = 150 perc

t2 = 3 óra = 180 perc

t3 = 1,5 óra = 90 perc

z1 = z2 = 0

z3 = 22,5 perc = 0,375 óra

Ezeket behelyettesítve a töltési idő

percben

T = (1 + 22,5/90) / (1/150 + 1/180 + 1/90)

T = 53,571428... perc

================

órában

T = (1 + 0,375/1,5) / (1/2,5 + 1/3 + 1/1,5)

T = (1 + 0,375/1,5) / 1,4 = 1,25/1,4

T = 0,8928... óra

=============

Néhány megjegyzés

- Az (1) képlet akkor alkalmazható, ha a vízhozamok ismertek.

- Az (1) és (2) képlet is természetesen nemcsak 3, hanem tetszőleges n>= 1 számú forrás esetén is működik.

(1a) T = (1 + m1*z1 + m2*z2 + m3*z3+ ... + mn*zn) / (m1 + m2 + m3 +...+ mn)

(2a) T = (1+ z1/t1 + z2/t2 + z3/t3 + ... + zn/tn) / (1/t1 + 1/t2 + 1/t3+ ... + 1/tn)

Az 'n' alsó index akar lenni. :-)

- A zárva tartási időt a töltési időn belül bármikor, és tetszőleges részletekben lehet teljesíteni.

Pl. z = 15-öt lehet három részletben is össze lehet hozni.

DeeDee

**********

U.i.:

Az előző válaszoló barokkos cirádákkal tarkított megoldásához és a Wolfram Alphához csak annyit, hogy szerintem rossz az eredményük... Megint egy tipikus "Miért egyszerűen, amikor bonyolultan is lehet" megoldás.

Talán mert sokféle előélettel érkeznek gyerekek az iskolába, különböző előismeretekkel, tudással?

Nem rossz a sokféle megközelítés. A racionális számok fogalmát csak burkoltan használó, fizikai analógiákat használó, mindent lehetőleg természetes számokra visszavezető megoldás igenis bejöhet néhány gyerek esetében (ha olyan az előismereti hátterük).

Picit etikátlan az előző hozzászólás utolsó mondata, tanári-didaktikai szempontból nézve szakszerűtlen. A Gyakorikerdesek.hu rendeltetésszerű használatához is hozzátartozik a sokféle válasz-alternatíva felsorakoztatása, ezt megtámadni kissé furcsa.

Az előző megoldásnak lehetnek valóban didaktikai értékei, de azt állítani, hogy egyértelműen ez a legegyszerűbb módszer MINDEN GYEREK ESETÉBEN, ez már picit szakszerűtlen állításnak tűnik, a személyeskedő megjegyzés sem a szakmai hitelességet támasztja alá. Szokatlan egy picit az azonnali általánosi igény is, bár elismerem, bejöhet néhány esetben. De mindenkinél?

Javítás:

,,Szokatlan egy picit az azonnali általánosítási igény is, bár elismerem, bejöhet néhány esetben, lehetnek didaktikai értékei. De hogy mindenki gyerek számára ez lenne az érthetőbb?''

De jó hogy itt vagy! Akor most rögtön tisztázhatjuk is.

Nem lehet, hogy úgy írja a könyv, hogy

1 ¹/₄₄ óra

Szóval egy nagy 1-es középen, utána pedig egy kis tört, számlálóban felül egy pici 1-es, nevezőben pedig alul egy pici 44-es?

Ez az?

Mert ha igen, akkor ezt a jelölést úgy szokták érteni, hogy

1 + ¹/₄₄ óra

Logikusan írod, hogy

1 ⋅ ¹/₄₄ óra

értelmezés lenne a logikus, de ez afféle konvenció, megállapodás, nem logikus, de így van. Az egymás mellé leírt egész szám, és a rögtön melléje írt törtszám úgy értendő, mintha össze lennének adva, nem pedig mintha szorozva lennének. Logikusan gondoltad, de ez a jelölés ilyen.

Szóval ha ez a helyzet, akkor helyben vagyunk.

1 + ¹/₄₄ = ⁴⁴/₄₄ + ¹/₄₄ = ⁴⁵/₄₄

Akkor a Te könyved megoldása, az én megoldásom, és a Wolfram Alpha megoldása megegyezik, az előbbi hiperbolás válasz megoldása pedig hibás. Ettől még persze lehet a hiperbolás ötlet jó, sőt akár szemléletes és értékes is, de valami számolási hiba biztos becsúszott ott.