Érmés valószínűségszámítás, hogyan?

Akkor nyer a kezdőjátékos, ha az 1., 3., 5. stb

Első dobás fej: 1/2

Első dobás nem fej, második nem fej, harmadik fej: 1/2*1/2*1/2=(1/2)^3

5. dobás nyerő: (1/2)^5

stb.

ezeket össze kell adni:

1/2 + (1/2)^3 + (1/2)^5 + ...

Ez egy végtelen mértani sor, aminek az összegképlete ismert.

a1=1/2 q=1/4.

S = a1*1/(1-q) = 1/2 * 1/(1-1/4) = 1/2 * 4/3 = 2/3

-------------------------

Másik megoldás.

Tegyük fel, hogy a kezdőjátékos p valószínűséggel nyer.

Az első játékos akkor nyer, ha az első dobás fej (1/2). Ha az első dobás nem fej, akkor a második játékos olyan, mintha kezdőjátékos lenne, p eséllyel nyer, 1-p eséllyel veszít.

Vagyis az első játékos nyerési esélyei kétféleképpen felírva:

p= 1/2 + 1/2*(1-p)

p = 1-1/2p

3/2p = 1

p = 2/3

Külön-külön 0.5 eséllyel dobhatnak fejet, de ha egymás után kell dobniuk, akkor az első dobó mindig előnyben lesz, mert hamarabb dobhatja meg a fejet.

Mikor nyer az első? A következő esetekben:

fej (1. 1x dobott, 2. 0x)

írás, írás, fej (1. 2x dobott, 2. 1x)

írás, írás, írás, írás, fej (1. 3x dobott, 2. 2x)

írás írás, írás, írás, írás, írás, fej (1. 4x dobott, 2. 3x)

[...]

Remélem, hogy innen már látszódik a minta. Ha ez megvan, akkor vagy azt számolod ki, hogy mekkora eséllyel nyer az első dobó vagy azt, hogy mekkora eséllyel nyer a második dobó, a fennmaradó részből (1.00-ra kiegészítve) mindig megkapod a másik esélyét.

Menni fog?