Hogy kell kiszámolni a súlypontját?

Nyolcaska!

1. Megmutatnád azt a sort a feladat kiírásában, amelyikben megadják a forgástengely helyét?

2. A Pappos Guldin tételnél ebben az esetben lényegtelen a tengely helye.

3. Majd ha látom a saját megoldásod, folytathatjuk.

A feladatban nem forgástengely van megadva, hanem koordinátarendszer. Amit te számoltál, az egy eltolt koordinátarendszerben van számítva.

Mellesleg nem "Pappos" hanem Pappus és nem "Goldin" hanem Guldin. A linkelt wikipédiás lapon is ez hibásan van...

Az én megoldásom pedig már adva van, ha nem értitek az egyszerű statikai nyomaték számítását sem, az a ti bajotok.

11-nek: Most átnéztem tüzetesebben a számításodat. Magad is tudhatnád, hogy az eltolt rendszerben számítod a súlypontot, és az xs=R-Rs képlettel transzformálsz vissza.

Az eltolt rendszerben valóban félgömb lesz a keletkező negatív forgástest. De megoldható negatív negyed tórusszal is, ahogy írtam. Mondjuk a tórusz térfogatát szintén a Pappus-Guldin tételből lehet levezetni ehhez.

A 2-es válaszomban pedig egy gyök2-es szorzó még hiányzik az s képletében, helyesen:

s=[gyök2*R^3/2-(R^2*pi/4)*s1]/ [R^2*(1-pi/4)].

Beírva s1-et és R^2-el egyszerűsítve:

s=R*gyök2*[0.5-(pi/4)*(1-4/(3pi))]/(1-pi/4)

Bővítve a törtet 4-el:

s=R*gyök2*[2-pi*(1-4/(3pi))]/(4-pi)

Az xy koordinátarendszerben pedig xs-et s-nek az x-tengelyre eső vetülete adja, azaz gyök2/2-vel kell szorozni.

xs=R*[2-pi*{1-4/(3pi)}]/(4-pi).

Kibontva a zárójelet:

xs=R*(10-3pi)/(12-3pi).

Ez az, amit te is odaírtál eredményenk.

[link]

„A nem latin betűs írású nyelvek közszavait és tulajdonneveit általában a magyar ábécé betűivel, lehetőleg a forrásnyelvből írjuk át. Bizonyos meghatározott esetekben azonban más átírási rendszerek is alkalmazhatók.”

[link]

Papposz nevét eredetileg így írták: Πάππος

[link]

Egész biztosan o-val és nem u-val kell átírni a magyarba, szóval a Wikin helyesen szerepel a tétel megnevezése (ahogy például a Pitagorasz-tétel sem Pythagorean-tétel, mert az angol átírás semennyire nem releváns).

(De ettől függetlenül érdekes kitérő.)

Egyébként hogy lássátok azt is, koordináta transzformáció nélkül hogyan lehet számolni negyedtórusszal:

Először a negyedtórusz térfogatát határozzuk meg a Pappus-Guldin tételből.

Vt=(R-4R/(3pi))*2pi*R^2*pi/4, egyszerűbb alakra hozva:

Vt=(1-4/(3pi))*pi^2*R^3/3.

Az R sugarú, R magasságú henger térfogata:

Rh=R^3*pi.

A kettő különbsége: henger-negyedtórusz:

dV=R^3*pi-R^3*(pi^2/2)*[1-4/(3pi)].

A négyzet és a negyedkör területkülönbsége:

dA=R^2*(1-pi/4).

A Pappus Guldin-tételt felírjuk dV és dA között:

dV=dA*xs*2pi. Behelyettesitve:

R^3*pi-R^3*(pi^2/2)*[1-4/(3pi)] = R^2*(1-pi/4)*xs*2pi

Egyszerűbb alakra hozva:

2pi*xs=(20R*pi-6R*pi^2)/(12-3*pi) Osztva 2pi-vel:

xs= R*(10-3pi)/(12-3pi)

tehát ismét a már levezetett képlethez jutottunk.

Valaki vállalkozhatna most már egy közvetlen felületi integrálásra is.

A negyedkör egyenlete:

(x-R)^2+(y-R)^2=R^2, x,y € [0,R].

Ebből nyílván y kifejezhető:

y = R-gyök[R^2-(x-R)^2].

y = R-gyök[2R*x-x^2].

Ennek az x-el való szorzatát lehet integrálni egyszerűen, kell majd trigonometrikus helyettesítés.

De ez így túl fapados.

Vagy lehetne kettős integrálból is számolni:

Integrál[dx*dy], x=0,...,R és y=0,..., R-gyök[2R*x-x^2].

Ebből lényegében ugyanaz az integrandus fog kijönni, mint az előbbiből, szóval ez is fapados.

Vállalkozhatna valaki egy polárkoordinátás megoldásra!