Hogyan kell megoldani ezeket a matematika feladatokat?

Szemléltetésként;

Nézzünk egy pár példát:

-ha x=5, akkor |5+1|+|5-1|=|6|+|4|, mivel a 6 és a 4 is pozitív, ezért |6|=6, |4|=4, 6+4=10

-ha x=0, akkor |0+1|=|0-1|=|1|+|-1|, mivel az 1 pozitív, ezért |1|=1, a -1 negatív, így |-1|=-(-1)=1, tehát 1+1=2 (mondjuk itt véletlenül pont találtunk egy megoldást, de ez nem jelent semmit).

-ha x=-2, akkor |-2+1|+|-2-1|=|-1|+|-3|, itt mivel mindkettő negatív, ezért |-1|=-(-1)=1, |-3|=-(-3)=3, így 1+3=4.

Nem véletlen, hogy a negatív számok ellentétét úgy képeztem, hogy "megmínuszoltam" őket, mivel ez lesz a kulcs a megoldáshoz.

Látható, hogy egy-egy szám esetén egész jól el lehet boldogulni. A gond csak az, hogy végtelen sok szám van, így igencsak sokáig tartana a megoldás, így kell nekünk egy másik megoldási mód után nézni.

Azt már tudjuk, hogy a || értéke aszerint változik, hogy benne milyen szám található; ha pozitív, akkor nemes egyszerűséggel elhagyható az ||, ha pedig negatív, akkor a benne lévő kifejezés ellentétét kell vennünk, amit úgy képzünk (ahogyan fent láttad), hogy "megmínuszoljuk". Ha esetleg 0 lenne benne, akkor mindkét eljárás nyugodt szívvel használható, mert mindig 0-t fog adni, A következő kérdés már csak az, hogy mikor szabad elhagyni az || büntetlenül, és mikor nem. Erre az a válasz, hogy meg kell vizsgálni, hogy mikor milyenek lesznek a fenti kifejezések előjel szempontjából. Ennek vizsgálatához fel kell írni egy pár egyenlőtlenséget;

az x+1 akkor pozitív (illetve nemnegatív), hogyha x+1>=0, tehát x>=-1, és x<=-1 esetén lesz nempoziív.

az x-1 pedig x-1>=0 esetén lesz nemnegatív, tehát x=>1-re, fordított relációval pedig nempozitív.

Most nézzük meg, hogy milyen számhalmazon nem fog megváltozni az előjelük (ehhez érdemes rajzoni egy ábrát, amit szerintem órán is csináltatok, az írásból megérted, hogy mi alapján mit csináltak ott);

-ha az x<=-1 számhalmazon vizsgálódunk, akkor azt látjuk, hogy mindkét kifejezés értéke negatív, tehát az || elhagyásához meg kell mínuszolni a kifejezéseket, ekkor ezt az egyenletet kapjuk:

-(x+1)+(-(x-1)) = 2, zárójelbpntás után

-x-1-x+1 = 2, ebből x=-1 adódik. Ez még pont beleesik a vizsgált számhalmazba, tehát az egyenletnek az x=-1 megoldása lesz. (Ha például azt kaptuk volna, hogy x=6, az nem lenne megoldása (ezek alapján) az eredeti egyenletnek, mert mi az x<=-1 halmazon vizsgálódtunk, viszont ahol a 6 van, ott máshogyan viselkedhet a bal oldal).

-ha -1<=x<=1, akkor azt látjuk, hogy az első tag végig pozitív, míg a második végig negatív (vagy 0), így az első marad úgy, ahogyan van, a második mág mindig mínusszal fog szerepelni:

x+1+(-(x-1))=2, zárójelbontás:

x+1-x+1=2, összevonás után:

2=2, ez pedig egy alapvető azonosság. Ez azt jelenti, hogy a [-1;1] intervallum összes eleme megoldása lesz az egyenletnek.

-ha 1<=x, akkor mindkét tag pozitív (vagy 0), így büntetlenül elhagyható az ||:

x+1+x-1=2, erre x=1 adódik.

Tehát háromféle megoldást kaptunk a három vizsgált részből:

az elsőből: x=-1

a másodikból: -1<=x<=x<=1

a hamradikból: x=1

Ezeket összevetve azt látjuk, hogy az egyenlet megoldáshalmaza: -1<=x<=1.