Hámy szám van ezekböl?

A felülvonást most zárójelezéssel helyettesítem, tehát (abc) egy háromjegyű szám. Érdemes előbb átalakítani a tagokat. Tudjuk, hogy minden szám átírható összegalakba helyiérték szerint, például 352=3*100+5*10+2, vagy 806=8*100+6. Itt ezt használjuk fel:

(abc) + (ab) + (a) = a*100+b*10+c + a*10+b + a, most rendezzük így:

a*100+a*10+a + b*10+b + c, ezt pedig vissza lehet fejteni úgy, hogy (aaa)+(bb)+(c), annyi különbséggel, hogy a (00)-t is kétjegyű számnak tekintjük (mivel eredetileg b értéke lehetett 0). Innen már nem nehéz kitalálni, hogy a értéke nem lehet 0 (ami egyébként sem lehetett) és 9 (mivel 999+valami mindig 1000 felett lesz). Még azt kell megnézni, hogy a értéke lehet-e 8, ehhez a legszélsőségesebb esetet elég megnézni: 888+99+9=996, így ez a legnagyobb szám, ami előállítható.

Így már csak azt kell megnézni, hogy az a;b;c betűk helyére hányféleképpen írhatóak számok. Erre az a válasz, hogy 8*10*10=800, ha a különböző betűk nem jelölnek különböző számokat, és 8*9*8=576, ha a betűk különböző számjegyeket jelölnek.

A számítás ilyen formában még csak egy felső becslés. Még azt kellene belátni, hogy a különböző tagokat tartalmazó összegek különböző eredményeket is adnak, ha pedig nem így van, akkor a kiszórásra kell egy módszert találni.

A kettes válaszhoz kiegészítés:

Mivel nem volt kitétel, hogy a, b, c különböző, ezért a 900+90+9 is megoldás.

Ismétlődés nem lesz. A háromjegyű szám ugyebár n=111*a+11*b+c

Ha b 1-gyel változik, n értéke 11-gyel változik, ezt pedig nem tudjuk követni c változtatásával (c<=9)

Ugyanígy ha a 1-gyel változik, n értéke 111-gyel változik, ezt pedig a 11b+c<=108 nem tudja követni. Szóval nem létezik olyan n, amelyet különböző a-k vagy különböző b-k felhasználásával írtunk fel.

Holott leírtam, hogy a (bb) lehet (00) is, mégis legalább 11-nek vettem, ezért írtam, hogy az a nem lehet 9, így teljesen jogos az észrevétel. De szerencsére csak ez az egy szám maradt ki a megszámoltakból, más nincs.

A különböző összegekre adott bizonyítást azért nem írtam le, hogy a kérdezőnek is legyen egy kis munkája, de így már azzal sem kell bajlódnia.