Síkbeli koordináta-rendszerben merőlegesen vetítjük a vektort az x=y egyenesre. Mi lesz a leképezés mátrixa?

Matrixszorzas megy? Ha az y=x egyenesre vetitesz, akkor ha az eredeti vektor (legyen a) koordinataja (x0,y0), akkor a kepvektor (legyen a') koordinataja (y0,x0) lesz.

Tehat keressuk azt a matrixot, amivel szorozva a-t megkapjuk a'-t.

Ez pedig a

(0 1)

(1 0)

matrix lesz (ellenorizheto matrixszorzassal)

Ez a mátrix az egyenes egységhosszú irányvektorának önmagával vett diadikus szorzata lesz.

[link]

Egy irányvektor az (1, 1). Ennek a hossza gyök(1^2 + 1^2), tehát az egyik egységhosszú irányvektor az (x1, y1) = (1/gyök(2), 1/gyök(2)). A diadikus szorzat:

(x1,y1) ⊗ (x1,y1) = (x1*x1, x1*y1; y1*x1, y1*y1) = (1/2, 1/2; 1/2, 1/2).

(Az x-y jelölés csak azért kellett, hogy kicsit lehessen követni mi történik, különben mindenhova csak 1/gyök(2)-t írtam volna.)

[link]

Szóval a keresett mátrix az

(1/2, 1/2)

(1/2, 1/2).

(((Vigyázz, én nem skalár szorzatot számoltam, az egy számot adna, nem egy mátrixot.)))

Nézd a második ábrát a linkemen! [link]

Itt a v vektort vetítik egy olyan egyenesre, aminek az egyik (nem-nulla) irányvektora s. Ugye az biztos, hogy egy olyan vektort kell kapjanak, ami az egyenesre esik, ezek pedig azok, amiket megkapunk c*s alakban, ahol c egy szám. Kérdés, hogy milyen c-re lesz a c*s éppen a v vektor képe.

Mivel a vetítés merőleges, ezért c*s-nek merőlegesnek kell lennie (v – c*s)-re (v végét a képével összekötő vektorra). Ez akkor van, ha a két vektor skalárszorzata 0:

c*s · (v – c*s) = 0, // Ha c nem 0, akkor egyszerűsíthetünk vele, a 0 meg csak akkor értelmes megoldás, ha s és v alapból merőlegesek, ezt pedig tudni fogja a végeredmény.

s·v – c*s·s = 0,

c = (s·v)/(s·s). //Ami valóban 0 akkor, ha s és v merőlegesek.

Ugye az egyenest egy tetszőleges (nem-nulla) nagyságú irányvektora kijelöli, én az előző hozzászólásban azért választottam egységnyi nagyságúnak (meg amúgy is be lehet látni, hogy ez a c nem függ s nagyságától), mert akkor a nevező, s·s = 1, és ilyenkor

c = v·s,

a keresett vektor pedig v képe

p = c*s = (v·s)*s.

Kell még a kérdésben szereplő A mátrix, ami ugye azt tudja, hogy

(v·s)*s = A*v

ez definíció szerint az s vektor s vektorral vett diadikus szorzata, azaz A = s ⊗ s, amit számolhatunk úgy, hogy

A = (s1*s1, s1*s2; s2*s1, s2*s2) //Ugye most úgy jelölöm, hogy a pontos vessző a sorokat választja el.

De ha nem menőzünk a diadikus szorzattal, akkor felírhatjuk ezt az utóbbi v-s egyenletet komponensenként is. Az első komponensre

(v1*s1 + v2*s2)*s1 = A11*v1 + A21*v2,

a másodikra

(v1*s1 + v2*s2)*s2 = A12*v1 + A22*v2.

s1 és s2 adottak, mivel v1 tetszőleges, legyen ezért most 0, v2 pedig ne legyen 0 ebből

v2*s2*s1 = A12*v2 --> A21 = s2*s1,

v2*s2*s2 = A22*v2 --> A22 = s2*s2.

Aztán fordítva, ha v2 = 0 és v1 pedig nem az, akkor

v1*s1*s1 = A11*v1 --> A11 = s1*s1,

v1*s1*s2 = A12*v1 --> A12 = s1*s2.

Na, három észrevétel.

Az első, hogy miután az utolsó bekezdésbrn kiszámoltuk Aij-t ellenőrizni kell, hogy tényleg jó-e a megoldás minden v-re, és nem csak a speciálisan választott esetekre.

A második, hogy természetesen nem c független az s nagyságától, hanem a p = c*s vektor.

A harmadik, hogy a szinuszt és koszinuszt azért nem kevertem ide, mert most az egyenes egyenlete volt adva, abból pedig közvetlenül leolvasható az irányvektor. Ha az x tengellyel bezárt α szöget adják meg, akkor persze az irányvektor (cos(α), sin(α)) lenne, ami kapásból egység hosszú is.

Amúgy segített a hozzászólásom? Így érthető?