Az (a + b) ^2 kifejezés is teljes négyzet, vagy csak az (a + b) ^2 - 5 kifejezés?

Hasonlóan beszélhetünk pl. teljes köbbé való alakításról, tehát amikor egy algebrai kifejezést

(a+b)^3+c alakra hozunk. Ha utánanézel mondjuk a harmadfokú egyenlet megoldóképletének, ott is ezen ötlet alapján vezethető le a Cardano-féle formula.

Hasonlóan, negyedfokú egyenletnél teljes negyedik hatvánnyá kell alakítani, abból jön ki a Ferrari-féle megoldóképlet.

Ezzel a kör be is zárul. Tehát pl. ötödfokú egyenletre már nincs megoldóképlet. Ezt a Ruffini-Ábel tétel igazolja is.

Persze ettől függetlenül teljes ötödik hatvánnyá való alakítás is létezik, csak épp az ötödfokú egyenlet transzformációjánál nem fog célra vezetni.

Úgyhogy az ilyen egyenleteket már numerikusan kell megoldani. Főleg a műszaki gyakorlatban pl. a harmad -és negyedfokú egyenleteket is numerikusan oldják meg, uis. még a Cardano-formula is elég bonyolult ahhoz, hogy az rutinszerűen alkalmazható legyen, az esetszétválasztásokról nem is beszélve.

Tehát pl. a gépipari gyakorlatban ha egy Bernoulli-féle gerenda hajlító -és húzóigénybevételnek van kitéve (összetett igénybevétel) akkor a Navier-féle megoldásból egy harmadfokú egyenletre jutunk.

Érdemes megjegyezni pl. azt is, hogy a harmadfokú egyenletnek ugye 3 gyöke van. Ha esetleg mindhárom valós lesz, annak ellenére a Cardano-féle megoldásnál is komplex számokkal kell számolni, amely a megoldási algoritmust tovább bonyolítja.

Na hát szóval a fentebb említett bonyolult dolgokból adódóan középiskolában megállnak általában a teljes négyzetté való átalakításnál.

Igényesebb helyeken a másodfokú egyenlet megoldóképletét még le is vezetik. Többfajta levezetés van, az egyiknél tipikusan a teljes négyzetté való átalakítást használják.

De ha már ennyit emlegetem, akkor nézzük, milyen egyszerűen lehet levezetni a másodfokú megoldóképletet!

Az egyenlet általános alakja az

A*x^2+B*x+C=0 alakot ölti. Osszuk el mindkét oldalt A-val, és a konstans tagot vigyük át a jobb oldalra, ekkor:

x^2+(B/A)*x=-C/A adódik. Most a bal oldalon lévő kifejezést teljes négyzetté alakítjuk:

[x+(B/2A)]^2-(B/2A)^2=-C/A

Rendezve:

[x+(B/2A)]^2=(B/2A)^2-C/A.

Gyököt vonunk:

x+B/2A=pluszminusz gyök[(B/2A)^2-C/A].

x-et kifejezzük:

x=-B/2A pluszminusz gyök[(B/2A)^2-C/A].

Ez a megoldóképlet, pontosabba annak is a 2-vel egyszerűsített alakja. Néhány azonosság alkalmazásával ez

pedig átírható az

x=-B pluszminusz gyök[B^2-4*A*C] alakba.

Látjuk tehát, hogy a teljes négyzetté való alakítás segítségével milyen könnyen konstruáltuk meg a megoldás formuláját.

Harmadfokúnál is így megy, de ott azért még kell néhány transzformációt alkalmazni.

Remélem érthető, és hasznos amit írtam. Ha igen, ne felejts el zöld kezet nyomni.

"x=-B pluszminusz gyök[B^2-4*A*C] alakba."

Helyesbítem, ezt ugye még el kell osztani 2A-val, így

x={-B pluszminusz gyök[B^2-4*A*C]}/(2A).

"[(a+b)(c-d)]^2"Ez teljes négyzet, mert átírható az általam említett formula szerinti alakra.

"[(a+b)^2 - (k+l)^3]^2" Ennek csak a belső tagjai teljes négyzetek. Mert egyébként ez egy negyedfokú formula, de nincs rendezve, ezt ránézésre látjuk.

"a*(b + c)^2"

Írd be a Wolframalphaba hogy

plot x*(y+z)^2.

"Úgy érted teljes 30. hatvány?"

Igen, ez a helyes.

"Attól, hogy átírható, még lehet, hogy ebben a formában nem teljes négyzet. Majd ha át lesz írva, akkor már teljes négyzet lesz."

Ez butaság, a megadott alakban is teljes négyzet. Ezt látni kell.

"Mert ha ez teljes négyzet, akkor (a*b)^2 is teljes négyzet."

Ez mégis mi a fenétől lenne teljes négyzet? Előbbi válaszomban leírtam világosan, hogy nem az.

"Ez csak akkor lesz negyedfokú, ha rendezve lesz."

Baromság! Egy kifejezés fokszáma nem attól függ, hogy algebrailag hogyan van átalakítva.

"Egyelőre viszont teljes négyzetes alakra van rendezve."

Hülyeség, nincs teljes négyzetes alakra rendezve.

"Hiszen ha (a+b)^2-t behelyettesíted a-val, (k+l)^3-t meg b-vel, akkor látható, hogy teljes négyzetet kapunk."

Ez egy nemlineáris koordinátatranszformáció lenne. Egy másik koordinátametrikánál nyílván lehet, hogy teljes négyzet az adott alak.

Viszont a transzformációval szembeni invariáns viselkedés ilyenkor általában nem teljesül.

"Sajnos a látottakból nem tudom kiolvasni, hogy "a*(b + c)^2" teljes négyzet-e"

Persze hogy nem, mivel nem az...

"Bocsánat hogy néhol okoskodok, és néhol vitázok veled, remélem nem haragszol emiatt."

Ha tanulni akarsz, akkor végig lehet olvasgatni még többször a válaszaimat. A tudálékos megjegyzéseidet viszont tartsd meg magadnak, és privátban se irogass butaságokat. Nekem egyetemi diplomám van, és az ilyen óvodásszintű kérdéseknél sokkal magasabb szinten államvizsgáztam és szigorlatoztam matematikából.

Úgyhogy a vitázást is tartogasd az osztálytársaid részére, mert a vitapartnereknek egyébként is egyenlő tudásszinten kell lenniük. Ez a feltétel érthetően most nem teljesül.