Az N pozitív egész szám pozitív osztóinak a szorzata 3^595. Határozzuk meg az N szám utolsó számjegyét!?

Az osztók szorzata háromhatvány, ez csak úgy lehet, hogy háromhatványokat szoroztunk össze (mivel a 3 prímszám).

Tegyük fel, hogy az N számnak a legnagyobb osztója 3^k, ekkor nyilván osztója a 3^(k-1), a 3^(k-2), és így tovább, egészen 3^0=1-ig. Ezek szorzata: 1*3*3^2*...*3^(k-2)*3^(k-1)*3^k, a hatványozás azonosságai szerint ez 3^(1+2+...+(k-2)+(k-1)+k)-nak felel meg, ennek kell 3^595-nek lennie:

3^(1+2+...+(k-2)+(k-1)+k) = 3^595

A hatványfüggvény szigorú monotonitása miatt ennek csak ott van megoldása, ahol a kitevők egyenlők, így:

1+2+...+(k-2)+(k-1)+k = 595

Itt két lehetőség van; vagy összeadod 1-től az egész számokat, amíg 595-höz nem jutsz, vagy talán észreveheted, hogy a két szélső tag összege mindig ugyanannyi, vagyis 1+k, és ezzel kezdesz valamit, de ha ismered a számtani sorozat összegképletére vonatkozóakat, akkor azt is használhatod. Maradjunk most az utóbbinál; a sorozat első tagja 1, utolsó tagja k, ami éppen a k-adik taggal egyezik meg, így k darab tag van a sorozatban. Így az összegük (1+k)*k/2, ennek kell 595-nek lennie, ez k=34 esetén lesz így, tehát a keresett szám legnagyobb osztója a 3^34, tehát a keresett szám a 3^34.

Ennek meg tudod határozni az utolsó számjegyét?