Határozza meg azokat az "a" és "b" pozitív egész számokat, amelyekre teljesül, hogy a + b = a*b–14, és az a, b,15 egység hosszúságú szakaszokból háromszög szerkeszthető! Ezt hogy lehet megcsinálni?

A második feltétel: a+b > 15 (háromszög-egyenlőtlenség)

Az egyenletből: b=(a+14)/(a-1), (a=1 esetén b+1=b-14 lenne, ami ellentmondás, megoldás nem lehet)

Ezt beírva az egyenlőtlenségbe, az már megoldható: a+(a+14)/(a-1)>15 -> a^2-15a+29>0 (ha a nem egyenlő 1-el)

a másodfokú egyenlet két közelítő megoldása: a_1=2.28, a_2=12.72

Tehát a pozitív megoldások halmaza: (0, 2.28)\{1} unio (12.72, +végtelen) -> a=2 és ebből b=16

A másik megoldáshalmazban már nem található a feladatot kielégítő pozitív egészek, ugyanis (a+14)/(a-1)<3 ha a > 8.5 -> ha a > 12.72 (ekkor a > 8.5 is teljesül) -> b<3, tehát több pozitív egész megoldás az a = 2, b=16-on kívül nincs

A megoldáshalmazt nem írtam fel korrektül, a másodfokú egyenlőtlenség teljes megoldáshalmaza (-végtelen, 2.28) unio (12.72, +végtelen), ebből a feladat számára irreleváns (nempozitív részt és a kizárt 1-et elhagyva kaptam amit írtam.

Az eredeti a+(a+14)/(a-1)>15 megoldáshalmaza: (1, 2.28) unio (12.72, +végtelen)