Miért nem osztható 7-tel páratlan számok esetén?

Hat ha n=1 akkor az eredmeny 17+11=28 ami maradek nelkul oszthato hettel.

Komoly a kerdes!

n=3-ra is osztható.

Pontosan mit is akarsz elérni ezekkel a kérdésekkel?

Ezzel csak annyi a baj, hogy magát a 4-gyel való oszthatóság tényét nem láttad be tetszőleges természetes n-re, csupán n=1 esetén. Ha megnézed n=2-re ugyanezt a történetet, máris észre fogod venni, hogy mások lesznek a maradékok (persze a maradékok összege még mindig osztható lesz 4-gyel, ha a feltevés igaz).

Negatív számok esetén viszont teljesen máshogyan számoljuk a maradékot; a n-nel vett maradék mindig egy 0 és n-1 közé eső szám lesz, így van ez a negatív számok esetén is; a -5 4-gyel vett maradéka nem -1, hanem 3.

Az ilyen feladatokat teljes indukcióval szokás megoldani, de persze meg lehet oldani maradékvizsgálattal is, csak az sokkal hosszadalmasabb.

"Vettem a 7-et, felírtam magamnak 3+4 alakban."

Ez igaz.

7-el való oszthatóság szempontjából ezek ekvivalensek:

17^n+11^n

3^n+4^n

3^n+(-3)^n

Nézzük a kettes alakot:

3^n 7-es osztási maradékai ciklikusak

3-2-6-4-5-1-3-...

4^n maradékai szintén:

4-2-1-4-2-1-4-...

Ebből következik, hogy

7|17^n+11^n

Akkor és csak akkor igaz, ha n páratlan. Ez a maradékok vizsgálatával könnyen adódott.

Tehát kérdéseddel ellentétben minden páratlan n esetén osztható 7-el a kifejezés és párosak esetén nem osztható.

Hogy miért igaz minden páratlan számra, azt mutatja a 3-as alak.

4 = 7-3 ezért 4 helyett írhatunk -3-at is. Ez a maradékokat nem befolyásolja.

3^n+(-3)^n

Minden páratlan n esetén Az összeg 0, tehát osztható 7-el.

Minden páros n esetén a maradék 2*3^n-el egyenlő.

Mivel 7 nem osztója a 3^n-nek így 2*3^n sose lesz 7-el osztható.

Ugyanígy, ha

2^n+5^n-ent veszed ugyanúgy minden páratlanra 7-el osztható lesz, és egyetlen párosra se lesz az.

Illetve bármilyen

(7*k+2)^n+(7l-2)^n alakra ugyanez igaz.