Hogy kell igazolni ezt az egyenlőtlenséget?

A bal oldal teljes négyzetes alakokra alakítva:

(x^2+4x+5)(x^2+2x+2)=

[(x+2)^2+1]*[(x+1)^2+1]

Ugyebár mindkét tényező legalább 1, így a szorzatuk is legalább 1.

Egyenlőség viszont nem lehetséges...

Amikor egy polinom szorzatalakban van megadva, az általában nem véletlenül van úgy megadva.

Első nekifutásra, próbáljuk meg teljes négyzetté alakítani:

((x+2)^2+1)((x+1)^2+1)>=1

Ebből már nem nehéz látni, hogy az egyenlőtlenség tényleg igaz, mivel tetszőleges x-re mindegyik tényező legalább 1 lesz.

Természetesen máshogyan is lehet okoskodni, de talán ez a legegyszerűbb.

Ha tudsz deriválni, akkor úgy is megoldhatod, bár akkor meg egy harmadfokú egyenletet kell megoldani. Az sem túl kellemes.

Mielőtt bármit is csinálunk nézzük meg az egyenlőtlenséget analitikus fejjel.

Ha x>1, akkor az egyenlet bal oldala már önmagában nagyobb, mint "1" és akkor ezt még négyzetre is emeled, hozzá is adsz még számokat, be is szorzod valamivel.

Negatív számok esetén egy kicsit fejtörősebb a mutatvány:

Ha x<1, azaz negatív (mert a 0 az nem valós szám, ezért kihagyjuk), akkor a bal oldalon van egy szorzás (a két zárójel). Mindkét zárójelben egy négyzetre emelés van, ez a tag biztos, hogy pozitív lesz. Aztán jön egy sima "x"-es tag, ez biztos, hogy negatív lesz, majd ehhez még hozzáadunk egy kis számot. Tehát +NAGY-KICSI+KICSI = biztos, hogy mindkét zárójel pozitív lesz. Két pozitív számot összeszorzunk, biztos, hogy egy még nagyobb pozitív szám lesz a végeredmény.

Na, ezzel meg is úsztunk egy csomó felesleges számolgatást. Most már csak azt kell kiszámolni, hogy a bal oldal mikor lesz =1-el és kész is van a bizonyítás.

Arról nem is beszélve, hogy szerinted a negatív számok az 1-nél kisebbek... Bár azt inkább úgy veszem, hogy elütötted.

Ha már itt vagyok, adok egy másik bizonyítást is; gondolom arra nem volt nehéz rájönni, hogy pozitív x-ekre (tehát x>0) és x=0 esetén az egyenlőtlenség igaz lesz.

Most vizsgáljuk az x<0 esetet, ehhez kibontjuk a zárójelet:

x^4+6x^3+15x^2+18x+10>=1

Itt azt a trükköt fogjuk használni, hogy keresünk egy olyan függvényt, amely minden x<0-ra nagyobb értéket vesz fel, mint 1, azonban végig legalább annyi, mint a fenti függvény. Ami a negatív számhalmazon a problémát okozza, azok a páratlan kitevőjű tagok (mivel azok értéke negatív), így érdemes olyan kifejezést keresni, ami ezekkel könnyedén összevethető.

Kis vizsgálódás után a 6x^3+18x+1 kifejezést találjuk; értelemszerűen ez legalább 1 lesz minden negatív x-re. Most nézzük meg, hogy milyen viszonyban áll az eredeti kifejezéssel; az a jó nekünk, hogyha az eredeti a nagyobb, vagyis:

x^4+6x^3+15x^2+18x+10>=6x^3+18x+1, kivonjuk a jobb oldalt:

x^4+15x^2+9>=0, ez pedig mindig igaz lesz.

Tehát sikerült találnunk egy olyan függvényt, amely végig kisebb az eredetinél, de végig legalább 1, következésképp az eredeti végig nagyobb lesz 1-nél (a valós számok halmazán). Ebből az is kiderül, hogy egyenlőség nem lehet, mivel a választott függvény értéke egyedül x=0 esetén 1, ez pedig kiesik a vizsgált számhalmazból.

Egy harmadik lehetőség, ha már szétbontottuk a szorzatot, hogy kihasználjuk a számtani-mértani közepek közötti összefüggést. Külön kérésre azt is leírom.

A fenti hülyeség, mivel a választott függvény igen hamar átmegy negatívba... ezt benéztem.

Mindenesetre lehet találni olyan f(x) (polnom)függvényt, amelyre igaz lesz, hogy x^4+6x^3+15x^2+18x+10>f(x)>=1, ilyen például az f(x)=(x^4/1000)+1, ezt belátni viszont kicsit körülményesebb, de nem megoldhatatlan. Próbálkozz meg ezzel, ha nem sikerül, megmutatom, hogyan kell.