Hogyan kell igazolni a következő egyenlőtlenséget? X^2+3xy+4y^2>=0

(x+y)*(x+2y)>=0 egy szorzat akkor 0, ha valamelyik tényezője 0

x+y>=0 x>=-y

x+2y>=0 x>=-2y

Az első hozzászóló megoldásával 2 problémám van:

1. Hogyan jön ki ez a tényezőkre bontás (konkrétan arra gondolok, hogy honnan látszik, hogy x+y kiemelhető)?

2. Félmegoldás, mivel nem vette figyelembe a tényezők esetleges előjelét.

Én máshogyan csinálnám, persze kellene tudni, hogy vettetek-e már paraméteres másodfokú egyenletet/egyenlőtlenséget.

A jobb érthetőség kedvéért legyen y=p, ekkor az egyenlőtlenség:

x^2+(3p)x+4p^2>=0, ahol p a paraméter. Ezzel egy másodfokú paraméteres egyenlőtlenséget kaptunk. A megoldóképlettel ennek meg tudjuk adni a gyökeit a paraméter függvényében:

x(1;2)=(-3p+-gyök(9p^2-4*1*4p^2))/2=

=(-3p+-gyök(9p^2-16p^2))/2=

=(-3p+-gyök(-5p^2))/2

Most azt kell megvizsgálnunk, hogy milyen p értékre lesz ennek a kifejezésnek az értéke valós; p^2 mindenképp pozitív vagy 0, ha ezt megszorozzuk 5-tel, akkor vagy egy negatív, vagy a 0 számot kapjuk. Ha p 0-tól különböző, akkor gyök(-5p^2)-et nem tudjuk értelmezni, ami azt jelenti, hogy az egyenletnek nincs gyöke, vagyis biztos, hogy az x-tengely "alatt" vagy "felett" van a függvény. Az, hogy az x-tengelyhez képest hol van a függvény, az határozza meg, hogy a főegyütthatónak (amivel x^2 meg van szorozva) milyen előjelű; ha pozitív, akkor felette, ha negatív, akkor alatta. Esetünkben +1-gyel van megszorozva, vagyis a függvény az x-tengely felett van, tehát az egyenlőtlenség azon része igaz, hogy nagyobb, mint 0.

p=0 esetén a kifejezés értéke 0, ekkor x értéke: (-3*0+-0)/2=0, így az egyenlőtlenség bal oldalának értéke: x^0+3*0*0+4*0^2=0=0, tehát ez a része is igaz.

Önkényesen választottam y-t paraméternek, de x-et is lehet, ekkor a másodfokú egyenlőtlenségünk:

4y^2+(3x)*y+x^2>=0, vagyis 4y^2+(3p)*y+p^2>=0

Ugyanez az eljárás, és ugyanez lesz a végeredmény is, csak a kapott kifejezések lesznek mások.

Ha valami nem érthető, kérdezz! De ha meg tudod a másik esetben oldani, biztosan megértetted.

Másik lehetőség a teljes négyzetté alakítás, akkor a négyzetes tagon kívüli tagot kell vizsgálni előjel szempontjából.

(Harmadik meg a deriválás, de gondolom azt nem tanultad még.)

Lehetnek speciális esetek, mint például:

x^2+y^2>=0 tetszőleges valós x;y-ra igaz, mivel x^2 biztosan pozitív vagy 0, y^2 ugyanígy, így az összegük is biztosan nemnegatív lesz. Persze ezt is meg lehet oldani, mint egy paraméteres egyenlőtlenséget, csak hosszadalmasabb, mint az előző megállapítást észrevenni. Szóval speciális esetekben egy jó észrevétellel könnyebb megoldani, viszont a fent leírt megoldás univerzális, nem is túl bonyolult és ne is túl hosszadalmas, tehát igen, a legtöbb esetben ezt érdemes használni.

Az előző válaszok mind hiányosak, félmegoldások.

A teljes négyzetet tartalmazó alak:

X^2+3xy+4y^2=(x+1,5y)^2+1,75y^2

Itt mindkét tag nemnegatív, így az összegük is az.

És csak akkor egyenlő 0-val, ha y=0 és x=0.

Ja, az első konkrétan hibás.

Ha felbontod a zárójeleket, nem az jön ki...