Egy derékszögű háromszög körülírt körének sugara 20 cm, beírt körének sugara 8 cm. Határozzuk meg a háromszög oldalait és hegyesszögeit! (? )

Thalesz tételének értelmében a derékszögű háromszög köréírt körének átmérője a háromszög átfogója; ha a sugár 20 cm, akkor az átmérő 40 cm, tehát a derékszögű háromszög átfogója 40 cm hosszú.

Legyen a háromszög kisebbik hegyesszöge 2Ł nagyságú (nem véletlen, hogy nem Ł-nak jelöltem), ekkor a másik szög 90°-2Ł nagyságú, lévén a belső szögek összege 180°. A beírt kör középpontját a (belső) szögfelezők metszéspontja határozza meg. Ha ezeket behúzzuk, akkor a derékszögű háromszögön belül találunk egy háromszöget, melynek

-egyik oldala 40 cm hosszú

-az előbbi oldalra merőleges magasság 8 cm hosszú

-a 40 cm-es oldalon fekvő szögek nagysága Ł és 45°-Ł, ezáltal a harmadik szög 135°-os.

A 8 cm-es magasság a 40 cm-es oldalt két részre, a háromszöget két derékszögű háromszögre bontja. Ahol az Ł szög a 40 cm-es oldalon fekszik, ott az oldalrész hossza legyen x, ekkor a másik háromszögben a rész 40-x hosszú lesz. A magasság a 135°-os szöget is két részre osztja, ezek nagysága 45°-Ł és Ł. Ami érdekes itt, hogy két derékszögű háromszögünk is van, amelyben felírható az Ł szög tangense:

tg(Ł)=8/x

tg(Ł)=(40-x)/8

Ezek egyenletrendszert alkotnak, és az ekvivalenciareláció elve szerint tg(Ł) helyére beírhatjuk az "értékét" az egyik egyenletben, így ezt kapjuk:

8/x = (40-x)/8

Ennek az egyenletnek két megoldása lesz, ami nem véletlen, mivel ha az egyik szakasz x, akkor a másik 40-x és fordítva, tehát igazság szerint ugyanazt a háromszöget kapjuk mindkét esetben, csak az osztás lesz más sorrendben (ha úgy tetszik, a két eset egymás tengelyszimmetrikus képe).

Innentől már minden adott, hogy a háromszög oldalait könnyedén meghatározhassuk.

Megjegyzés: a fenti egyenletrendszer úgy is kijött volna, hogyha hivatkozunk arra, hogy a "közepes" háromszögön belüli két kisebb háromszög hasonló egymáshoz (mivel szögeik páronként megegyeznek), ezért a hasonlóság aránya szerint is felírható az egyenlőség, nem szükséges a szög tangensét venni, habár az sokkal precízebb olyan szempontból, hogy azt nehezebb összekeverni.

Másik megoldás, ami kicsit speciálisabb tudást igényel; ha a két befogó hossza a és b, akkor Pitagorasz tétele szerint:

40^2 = a^2 + b^2

A függvénytáblában található olyan összefüggés, hogy T(háromszög)=r*s, ahol a háromszög területe most egyszerűen megadható, a*b/2, r a beírt kör sugara, ami itt 8 cm, s pedig a félkerület, vagyis s=K/2=(a+b+40)/2, tehát felírható ez az egyenlet:

a*b/2 = 8*(a+b+40)/2

Ezek is egyenletrendszert alkotnak, amit viszonylag könnyedén meg lehet oldani.