Egy háromszög a oldala 4cm, b oldala 12cm a két oldal által közbezárt szög szögfelezője 3cm mekkora a háromszög harmadik oldala?

A szögfelező a háromszöget két kisebb háromszögre bontja. Legyen az egyik háromszög oldalhosszai 3;12;x, a másiké 3;4;y, ekkor a háromszögre felírható a szögfelezőtétel:

x/y = 12/4, vagyis x=3y, így a kis háromszögben a harmadik oldalak hossza y és 3y cm.

Legyen a szögfelező és az oldalak közrezárt szöge Ł, ekkor a két kisebb háromszögben felírható két koszinusztétel:

y^2 = 3^2 + 4^2 - 2*3*4*cos(Ł)

(3y)^2 = 3^2 + 12^2 - 2*3*12*cos(Ł)

Érdemes az első egyenletet szorozni 3-mal:

3*y^2 = 3*3^2 + 3*4^2 - 2*3*12*cos(Ł)

(3y)^2 = 3^2 + 12^2 - 2*3*12*cos(Ł)

Így ha kivonjuk egymásból a két egyenletet, akkor cos(Ł) eltűnik:

(3y)^2-3y^2 = -2*3^2 + 12^2 - 3*4^2, és ez az egyenlet már könnyedén megoldható. Ha megvan y értéke, akkor x értéke is kiszámolható, és a kettő összege adja a harmadik oldal hosszát.