Van-e olyan természetes szám, amelynek az értéke megötszöröződik, ha az első számjegyét az elejéről töröljük, és a végére írjuk?

Triviális megoldás a 0 szám; ha a 0-t töröljük, majd a szám elejére írjuk a 0-t, akkor 0-t (vagy 00-t, ami =0) kapunk, és ez valóban ötszöröse a 0-nak. Ha ez nem játszik, akkor így járunk el:

Egy szám akkor osztható 5-tel, hogyha az utolsó számjegye 0 vagy 5, tehát az eredeti számban a tizesek helyén 0-nak vagy 5-nek kell állnia. Nem nehéz rájönni, hogy ezt az határozza meg, hogy az utolsó számjegy mi; ha az utolsó számjegy páros, akkor annak ötszöröse 0-ra végződik, tehát a tizesek helyén álló számjegy csak 0 lehet, ha az utolsó számjegy páratlan, akkor pedig 5. Ha az utolsó számjegy 0, akkor előre írva kisebb számot kapunk (illetve a 0 esetén nem csökken az érték), tehát az eredeti számnak nem kapnánk meg az ötszörösét.

Tegyük fel, hogy a keresett szám (x51) alakú, ahol x egy k-jegyű szám, ezzel egy k+2-jegyű számot kapunk (például ha x=578, ez egy k=3-jegyű szám, ekkor az eredeti szám 57851, ez pedig egy 3+2=5-jegyű szám). Ez a szám a tanultak szerint felírható x*10^(k+2)+51 alakban. Ha az utolsó számjegyet előre írjuk, akkor az (1x5) számot kapjuk, ez így írható fel: 1*10^(k+2)+x*10^(k+1)+5, ez az eredetinek ötszöröse kell, hogy legyen, így ez az egyenlet írható fel:

5*(x*10^(k+2)+51) = 1*10^(k+2)+x*10^(k+1)+5, vagyis

5x*100*10^k+255 = 100*10^k+10x*10^k+5, rendezzük az egyenletet és kiemelünk:

250 = 10^k*(100-490x)

Mivel 10^k mindenképp pozitív és 100-490x mindenképp negatív, ezért az egyenletnek nincs megoldása, vagyis az (x51) alakú számok között nincs megfelelő szám.

A következő, amit vizsgálunk, az (x02) alakú szám, ekkor:

eredeti: x*10^(k+2)+2 = x*100*10^k+2 = 100x+10^k+2

csere után: 2*10^(k+2)+x*10^k = 2*100*10^k+x*10^k = 200*10^k+x*10^k

az egyenlet: 5*(100x+10^k+2) = 200*10^k+x*10^k

zárójelbontás: 500x+5*10^k+10 = 200*10^k+x*10^k

rendezünk és kiemelünk: 10 = 10^k*(195-490x), itt ugyanaz a történet, hogy a jobb oldal negatív, tehát az egyenletnek nem lehet megoldása.

A többi esetet ebből már fel tudod dolgozni?