Egy rombusz területe 300 cm2. Egyik átlója kétszer akkora mint a másik. Mekkorák a hegyesszögei?

Legyen a rövidebbik átló x, ekkor a hosszabbik átló 2x hosszú. A rombusz területe az átlókból (x*2x)/2=x^2, ennek kell 300-nak lennie:

x^2 = 300, ennek megoldása x=gyök(300)=10*gyök(3) cm, tehát az átlók hossza 10*gyök(3) cm és 20*gyök(3) cm.

Az átlók merőlegesen felezik egymást, tehát a rombuszt 4 olyan derékszögű háromszögre bontják, ahol a befogók hossza 5*gyök(3) cm és 10*gyök(3) cm. Ebben a derékszögű háromszögben legyen a 10*gyök(3) cm-es oldallal szemközti szög Ł, ekkor az Ł szög tangensét tudjuk felírni:

tg(Ł)=(10*gyök(3))/(5*gyök(3))=2, ennek megoldása Ł=~63,435°. Mivel tetszőleges háromszögben a belső szögek összege 180°, ezért a másik hegyesszög 26,565°-os.

A rombusz átlóiról még azt kell tudnunk, hogy szimmetriatengelyei a rombusznak, ebből következően felezi a szögeket is, tehát a rombusz szögei a fenti szögek kétszeresei lesznek, tehát 126,87°-osak és 53,13°-osak. (A pontos eredmény: 2*arctg(2) és 180°-2*arctg(2), ahol arctg(2) értékét szögben adjuk meg.)

Az átlók: x és 2x.

Terület: 300=x*2x/2=x^2 amiből x=gyök(300)=17,32.

Így az átlók 17,32 és 34,64 cm. Mivel a rombusz átló merőlegesen felezik egymást ezért az egyik derékszögű háromszögben kiszámolhatod trigonometrikus szögfüggvényekkel a szögeket.

De ehhez minek a terület?

A két átló merőleges, az átlók fele és a rombusz oldala egy derékszögű háromszöget határoz meg. tehát van egy háromszög, aminek az egyik befogója kétszerese a másiknak, tehát a befogók aránya 1:2, ami a rombusz hegyesszögének a felének a tangense. tg(α/2)=1/2, α=53,13°.