Mi a deriváltja lim frac (hx) /h-nak, ha van?
Az y = lim frac(hx)/h függvényben a lim határértékben h tart végtelenhez, frac a törtrész függvény és x a függvény változója.
Létezik-e y' és mi az? Mert ha létezik, akkor más fraktál-függvényeknek is kell, hogy legyenek deriváltjai.
válasza:Az a baj, hogy a kérdés, ilyen formában, hatalmas baromság. Maga a lim(...) egy érték, vagyis egy szám, vagyis egy konstans, vagy pedig +-végtelen az értéke, esetleg nem létezik. Ha a fenti határérték egy konstans, akkor annak a deriváltja 0 lesz, egyébként pedig nem is tudunk mit deriválni.
Próbáld meg máshogyan megfogalmazni a kérdést, mert így nem sok értelem van benne.
Határérték eredménye nem mindig konstans. Még a wikipédia is azt írja, hogy pl. az exp(x) függvény előáll határértékből:
(lentebb)
Így tessék értelmezni az én függvényemet is!
(Ha meg tévedek, javítsatok ki.)
Akkor mondom a saját eredményemet - bár nem vagyok benne biztos, hogy jó-e, de itt van:
y = lim { x h } ÷ h = lim 1÷h (1/2 - 1/pi sum sin( 2 pi k h x )/k )
ahol a szumma k=1-től végtelenig megy.
dy / dx = lim 1/2h - 1/hpi sum cos( 2 pi k h x ) 2 pi k h / k = -2 sum cos( 2 pi k h x )
Vizuálisan a megoldás: megnéztem a függvényt szumma k=1-től 1000-ig, és egy az y-tengelyen -2-szeresen megnyújtott, az x-tengelyen végtelenül összepréselt koszinusz függvényt kaptam. Két dolog zavar: miért nem 1-et kaptam eredményül, ha az eredeti y függvény 1-es meredekségű szakaszokból áll (mondjuk van benne pár szakadás), ill. ugyan hogyan lehetne ezt, mint deriváltat értelmezni?
Segítség!
válasza:Az a hatalmas probléma, hogy kevered a dolgokat össze-vissza.
Az, hogy egy függvény határértéke átírható összegalakba, az nem jelenti azt, hogy az eredmény nem konstans lesz (elvégre számok összege is egy konstans dolog lesz), ha pedig két/többváltozós függvények határértékét vizsgálod, akkor is konstans eredményt kapsz a tartatott változó szempontjából, például lim(x->végtelen) xy/(1+x) határértéke y lesz, ami x szempontjából konstans (mivel nincs benne x), y szempontjából függvény lesz. Ez persze nem jelenti azt, hogy kétváltozós függvények határértéke ne lehetne egy konkrét szám, és erre a példád tökéletes; lévén a frac(x) függvény korlátos, ezért a frac(hx) is az lesz. Ha vizsgálod a frac(hx)/h határértékét, akkor gyakorlatilag az lesz az eredmény, hogy egy véges értéket (ami -1 és 1 közé esik) osztod egy végtelenhez tartó értékkel, és ezt intuitíven is tudjuk, hogy 0-hoz fog tartani, de ha esetleg ezt nem hiszed el, akkor csendőrelvvel szépen be lehet látni; legyen a felső csendőr 1/h, ez biztosan 0-hoz tart a végtelenben, az alsó -1/h, ez is 0-hoz tart, így a kettő között "ugráló" függvény is kénytelen 0-hoz tartani, tehát a fenti határérték mindenképp 0 lesz.
A számításokat pedig részletezhetnéd, mert nekem egyáltalán nem tiszta, hogy mi honnan jött.
> A számításokat pedig részletezhetnéd, mert nekem egyáltalán nem tiszta, hogy mi honnan jött.
Rendben. A forrásom a következő wikipédiás oldal volt:
Itt konkrétan írja, hogy:
{x} = 1/2 - 1/pi sum sin( 2 pi k x )/k
Ez innen jött, a többit ebből vezettem le.
A helyzet az, hogy igazad van, amikor azt mondod, hogy ez egy konstans nulla függvény. A kérdés tehát az, hogy minek hiszünk? A józan paraszti eszünknek, miszerint ez egy konstans függvény és a deriváltja 0, vagy a tetszőlegesen közelíthető végtelen összegképletnek, miszerint ez egy végtelenül sűrű koszinusz függvény, vagy annak a koncepciónak, miszerint ez egy sehol sem folytonos függvény, és így nincs deriváltja, vagy egy negyedik elméletnek, miszerint pont, hogy nem a szakadásokat nézzük, és így 1-es meredekségű a függvény, kivéve a szakadási pontoknál.
válasza:Ez nem hit kérdése. Az adott határérték 0. Ha a 0-t deriválod, akkor 0-t kapsz. Ennyi a történet. Ráadásul mindenhol 0 lesz, mert attól függetlenül, hogy végtelen sok helyen szakad, attól még mindenhol értelmes lesz, és ha azt "osztod végtelennel", akkor mindenhol 0-t fogsz kapni eredménynek.
Értem én, hogy frac(hx)/h határfüggvényét keresed, de az pont, hogy a konstans 0 lesz. Ezen már nincs mit tárgyalni. Ha pedig más eredmény jött ki, akkor több, mint valószínű, hogy valahol hiba van.
> Ez nem hit kérdése.
Nyilván nem hit kérdése, hanem a paradigmáé. Én csak azt akartam szemléltetni, hogy több lehetséges kimenetele is van a dolognak, egész konkrétan négy. Te megvizsgáltad a másik három opciót?, vagy bárki más.
Nem egy szimpatikusat kell kiválasztani, hanem az összeset észérvekkel ütköztetni.
Elmondom én is az én magánvéleményemet:
Mivel y=frac(x)={x} deriváltja mindenütt 1, kivéve a szakadási pontokban, és bármilyen nem nulla h számra igaz, hogy {xh}/h függvényt csak más nagyításban látjuk (!), így a derivált mindig csak 1 lesz, kivéve a szakadási pontokban. Ott a fantáziádra bízom, hogy mi van. :)
A probléma ott kezdődik, hogy ha h végtelenül nagy, akkor végtelenül sok a szakadási pont is, már csak az a kérdés, hogy tekintünk a végtelenre? Egy olyan valami, amiből több is van, és létezik a végtelennél is nagyobb? Fura kérdés, tudom.
válasza:Az a probléma, hogy a matematika nem filozófia... Nem "észérveket kell ütköztetni", "leírni a saját véleményedet", hanem matematikai eszközökkel kell belátni a dolgokat.
Ha egyetemen tanulnál matekot, azon belül is analízist, rögtön megkapnád a választ; ha vesszük egy függvény határfüggvényét, akkor az "eredeti" függvény(ek) és az(ok) határfüggvénye között nem mindig öröklődnek a függvénytulajdonságok, mint például a folytonosság sem, ebből következően a deriválás és az integrálás sem.
Mondok egy egyszerűbb példát; (sin(x))^(2n) tetszőleges természetes n-re folytonos, differenciálható, integrálható, stb. Ennek a határfüggvénye (vagyis amikor n->végtelen) úgy néz ki, hogy ahol a sin(x) függvény 1-et vesz fel, ott a (sin(x))^n is, ahol pedig 1-től kisebb számot, ott 0-t. Érthető okokból ez a függvény már nem lesz mindenhol folytonos, így deriválható sem.
A te példádnál pont fordítva van; egy egyébként nem folytonos függvény határfüggvénye folytonos lesz, mégpedig a konstans 0, ez pedig deriválható, és a derivált értéke 0 lesz.
Ez nem a "nekem tetsző nézőpont", hanem a matematikai ismeretekre alapozva ez jön ki.
> ha vesszük egy függvény határfüggvényét, akkor az "eredeti" függvény(ek) és az(ok) határfüggvénye között nem mindig öröklődnek a függvénytulajdonságok,
Kételkedem ebben a tételben.
Sőt, a legtöbb ehhez hasonló begyepesedett dogmát határozottan visszautasítom. Tudom, hogy most sokan azt gondolják, hogy akkor nem egyetemre való vagyok - vagy éppenséggel már rég el kellett volna kezdenem... De elmondom miért: Mert én nem hiszek a végtelen határtalanságában. Én a végtelen végességét tartom számon. És ez már nem olyan egzakt, ami ne osztaná meg az embereket, és ugyanígy ez az, amin teóriák, matematikák, tételek... állnak vagy buknak.
Zárójel bezárva, most kicsit offoltunk, de nem baj. Azt javallom kérdezzünk meg másokat is a tárgyról, lehetőleg más egyetemekről, vagy akik már elvégezték.
válasza:Azt vallasz, amíg akarsz, meg lehet "kőbe vésett szabályok gyűjteményeként" gondolni a matematikára (holott ez egyáltalán nem igaz), de attól még nem fog egy varázsütésre a te szájad íze szerint változni.
Persze, lehet máshogyan gondolni, de akkor nekiállhatsz új matematikát építeni, aztán vagy kisül belőle valami jó dolog, vagy nem, de amíg "nem értesz egyet valamivel, amit mások elfogadtak, de felmutatni pedig nem tudsz az ellen semmit", addig üres vagdalkozásnál többet nem ér a szavad.
A "tételben" (ami valójában egy következmény) szintén lehet kételkedni, annak ellenére is, hogy adtam rá könnyen érthető példát, ami igazolja azt, ez már a te bajod.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!