Ennek a függvénynek miért ez a deriváltja?

Azért, mert a szinuszon belül van még egy lineáris függvénye a t-nek: ω*t. Ennek a deriváltja ω, és ezzel még meg kell szorozni a függvényt. Esetleg nézd meg alaposabban a könyv deriválós részét.

A*sin(ω*(t - t0)) deriváltja A*ω*cos(ω*(t - t0)).

Itt is megmarad a lineáris belső függvény, és így kijön még egy ω.

Másik példa:

sin(ln(A*x^2)) deriváltja a szinusz deriváltjának:

cos(…),

a logaritmus deriváltjának:

1/(…) és

az A*x^2 deriváltjának

2*A*x-nek

a szorzata, azaz

[cos(ln(A*x^2))]*[1/(A*x^2)]*[2*A*x].

(Amit viszont én nem értek, hogy az

„x(t) = A*sin omega(t1-t0)”

kifejezés jobb oldalán semmilyen t függés nincs, nem írtál véletlenül a t1 helyett t-t a bal oldalon, vagy valami ilyesmi?

Szerintem formálisan így x'(t) = 0.)

Az előző válaszokat kiegészítve ez a láncszabály tipikus esete. Minden függvényt fokozatosan "bontunk le". Egy sin(omega*t) függvény a t szerinti deriválást tekintve első lépésben az omega*t változó függvénye, amelynek deriváltja természetesen cos(omega*t), de ezután az omega*t függvényt kell deriválni t szerint, ez pedig omega. Ez szorozza az eddigieket, azaz:

d[sin(omega*t)]/dt = omega*cos(omega*t)

Egyébként ez egy tök egyszerű összefüggés. Ha adott egy f függvényed, amely a g-n keresztül függ t-től, vagyis f=f(g(t)), akkor az f-nek a t szerinti deriváltja így írható:

df/dt = df/dg * dg/dt. Ezt kell itt is alkalmazni.