Mi ennek a függvénynek a deriváltja? 10^4 / x^2+9

A deriválás összefüggéseit, meg jelen esetben a műveletek (szorzás, hatványozás) összefüggéseit kell használni.

Mi egy függvénynek a deriváltja? Nem más, mint az adott helyen a függvénynek a meredeksége. Vegyünk egy egyszerű függvényt: y=x. Most adjunk hozzá a függvény kifejezéséhez egy konstanst: y=x+7. Mi történik? A függvény görbéjét feljebb toltuk az y tengely mentén. De ettől a görbe alakja ugyanaz marad, a meredeksége nem változik. Pont ezért a konstans deriváltja nulla.

Mi történik, ha megszorozzuk a függvény kifejezését? Pl.: y=4x. Ebben az esetben a függvény görbéje „megnyúlik” az y tengely mentén. A meredeksége minden pontban pont a négyszerese lesz az y=x függvény meredekségének (deriváltjának). Pont ezért az eredeti függvényben található szorzás a deriváltban összeadássá alakul.

Hatványozás esetén is ugyanez van – kis csavarral –, egy eggyel alacsonyabb szintű műveletté alakul át a művelet. Az x^n deriváltja: n*x^(n-1)

Innen jönnen ki a deriválás szabálya:

(f+c)' = f'

(n*f)' = n+f'

(x^n)' = n * x^(n-1)

Továbbá:

(f+g)' = f' - g'

(f*g)' = f' * g + f * g'

Nos. Akkor nézzük a feladatot. A hatványozás összefüggéseit használjuk:

x^(-n) = 1/(x^n)

Innen ugye a x^2 -el való osztás azonos az x^(-2) -vel való szorzással:

10^4 / x^2 + 9 = 10^4 * x^(-2) + 9

Akkor most nézzük ennek a deriváltját:

Használjuk a (f+g)' = f' + g' összefüggést:

(10^4 * x^(-2) + 9)' = (10^4 * x^(-2))' + 9' = (10^4 * x^(-2))' + 0 = (10^4 * x^(-2))'

Használjuk a (f*g)' = f' * g + f * g' összefüggést:

(10^4 * x^(-2))' = (10^4)' * (x^(-2)) + (10^4) * (x^(-2))' = 0 * (x^(-2)) + (10^4) * (x^(-2))' = 10^4 * (x^(-2))' = 10^4 * (-2) * (x^(-2-1)) = 10^4 * (-2) * x^(-3) = -2*10^4 * x^(-3)

Ez felírható más alakban: -2*10^4 / x^3