Hogy lehet ennek a függvénynek a minimumát megkeresni? x^4+y^4+2/ (xˇ2yˇ2) (2 per xnégyzet ynégyzet) x, y nem 0

Mint az összes többi kétváltozós függvény esetén:

1. Kellenek az elsőrendű parciális deriváltak

2. Ezeket egyenlővé kell tenni 0-val, és megoldani az egyenletrendszert, ebből kapható(ak) meg a stacionárius pont(ok)

3. Kellenek a másodrendű deriváltak

4. Végül a Hesse-mátrix determinánsa, mely a fenti deriváltak értékeit tartalmazza a stacionárius pont(ok)ban.

Persze itt még meg kell nézni a szélsőérték létezésének másodrendű feltételét is. Végül illik megadni a függvényértéket is a szélsőérték-pont(ok)ban.

Igen. Mivel speciális a függvény, így alapvetően más (ti. most sima algebrai) megfontolásokkal is megállapítható, hogy ennek a kétváltozós függvénynek minimuma van; és az is megadható, hogy hol ez van - pontosabban ezek hol vannak.

Az alapmegfontolás az, hogy a páros kitevők miatt biztos, hogy minimumról lehet csak szó, mert páros kitevők esetén a hatványértékek csakis nagyobbak vagy egyenlőek lehetnek, mint 0. Ezek után "kicsit" át kell alakítani a kifejezést.

1. Az első részt átalakítva x^4+y^4=(x^2-y^2)^2+2*x^2*y^2, az egyik nevezetes azonosság felhasználásával

2. Ezzel (x^2-y^2)^2+2*x^2*x^2+2/(x^2*y^2)=(x^2-y^2)^2+2*(x^2*y^2+1/(x^2*y^2))

3. A zárójeles kifejezésre egy másik összefüggés alkalmazható: egy szám (most x^2*y^2) és reciprokának össze mindig nagyobb vagy egyenlő, mint 2 (ha ezek pozitívak)

4. Az első négyzetes tag minimuma - lévén négyzetszám - éppen 0; ez éppen akkor lesz ennyi, ha x^2=y^2, vagyis |x|=|y|

5. A fenti reciprok összefüggés minimuma éppen 2 akkor, ha az a szám éppen 1, azaz x^2*y^2=1

6. Innen azonnal adódik, hogy az eredeti kétváltozós függvény minimum értéke 4 lesz

7. A helyek pedig az I. x^2=y^2; II. x^2*y^2=1 egyenletrendszer megoldásai, melyek az (1;1),(1;-1),(-1;1),(-1;-1) számpárok, melyek pontosan ugyanazok, amelyeket a (parciális) deriválással is megkaphatunk.

Elnézést, a sok x-y miatt elírtam :D Helyesen: "2. Ezzel (x^2-y^2)^2+2*x^2*y^2+2/(x^2*y^2)=(x^2-y^2)^2+2*(x^2*y^2+1/(

x^2*y^2))"