Határozza meg az y= 2x^2-4x-6 egyenletű parabola fókuszpontjának koordinátáit?

Sok bonyolult vagy inkább macerás módszer létezik, de én mutatok egy egyszerűt, amit a józan paraszti eszemmel indukáltam. Remélem az eredmény is jó lesz. :)

y = 2x^2 - 4x - 6

A parabola az egy függőleges szimmetrikus dolog, tehát a szélsőérték helye fölött (ha x^2 tényezője negatív lenne, akkor alatta lenne) a fókuszpont.

A szélsőérték helyét mindig az eredeti függvény deriváltjának zérushelyeivel kapjuk meg:

y' = 4x - 4 = 0

A megoldás:

x = 1

Most már van egy függőleges egyenesünk, ami áthalad a fókuszponton, most keressünk egy másik egyenest, és a két egyenes metszete fogja adni magát a fókuszpontot.

Ezt az egyenest képezzük úgy, hogy a parabola egyik szelő egyenesére olyan merőlegest szerkesztünk, ami a parabola és a szelő metszés pontján megy keresztül. Ez a legbonyolultabb rész, de annyira ez sem az.

Legyen ez a pont a (-1;0), ami egyébként pont egy zérushelye is az eredeti függvénynek. Ennek meredeksége:

y'(-1) = 4*(-1) - 4 = -8

Az ebből képzett merőleges egyenes egyenlete (azt remélem nem kell ecsetelnem, hogy képzünk merőleges egyenest):

e: y = -8x - 8 => merőleges e-re: f: y = x/8 - 8

Ennek metszete az 1-es helyen átmenő függőleges egyenessel az y(1) = -7.875

Remélem helyes eredményt adtam. Majd a többiek megmondják. :)

Remélem nem zavar be senkit, hogy e és f egyenesben ugyanazt az y függvényváltozót használtam, mint az eredeti függvényben.

Mint látod kevés számítás is elég, csak viszonylag sokat magyaráztam hozzá.