Analízis 1, fgv. Végtelenbe vett határértéke feladat. Hogyan kell megoldani?

A 20gyök-el nem sokra mész, akkor így fog kinézni a számláló:

20gyök [(x^5+2*x^3-7x)^4]

Ezzel mit csinálsz? 3 tagú kifejezést 4. hatványra emelsz és akkor lesz x^20-ontól x^4-enig mindenféle tagod.

Na ez nem vezet sehová.

A polinomos kifejezéseknél a legnagyobb tag fog dominálni, azt kell kiemelni.

Pl.:

x^3+2x^2-8x+3

Előbb-utóbb az x^3 olyan nagy lesz, hogy mindenki mást elnyom.

Szóval ez ránézésre is

4gyök(x^5) / 5gyök(x^6)-hoz fog tartani, ami x^(5/4) / x^(6/5) ezt már át tudod írni x^(1/25) alakba, ami végtelenhez tart.

A ránézős módszer helyett persze tisztességesen meg kell csinálni.

Számlálóban emeljük ki a legnagyobb tagot:

(x^5+2*x^3-7x) = x^5 * (1+2/x^2-7/x^4)

Ugyanígy a nevező:

x^6*(1+3/x^2+2/x^6)

Együtt:

[x^5 * (1+2/x^2-7/x^4)]^1/4 / [x^6*(1+3/x^2+2/x^6)]^(1/5) =

x^(5/4) / x^(6/5) * [(1+2/x^2-7/x^4)]^(1/4) / [(1+3/x^2+2/x^6)]^(1/5)

x^(1/25) * [(1+2/x^2-7/x^4)]^(1/4) / [(1+3/x^2+2/x^6)]^(1/5)

Ennek keressük a limesét.

Első tag végtelenbe tart a tört 1/1-hez

Azaz végtelen * 1/1 = végtelen.

Azt csak azért írtam bele, hogy figyelsz-e :)

Igazából:

Hatványok osztása:

x^(5/4) / x^(6/5) = x^(5/4-6/5) = x^(25/20-24/20) = x^(1/20)