Számtani illetve mértani sorozatok képletei?

Számtani sorozat:

a(n)= a1 + (n-1) * d

Ha ismered a(n) és d. Akkor ugye 'n' is tudod.

A számtani sorozat 3. eleme 9, a d = 2

9 = a1 + (3-1) * 2

Ebből csak a1-et nem ismered.

9 = a1 + 2*2

9 = a1 + 4

a1 = 5

Ha ismered a(n) és a(m)

A számtani sorozat 3. tagja 9, az 5. tagja 13.

Ekkor kérdés lehet, hogy mennyi 'a1' és 'd'.

Az elején felírt képlet szerint:

a(n) = a1 + (n-1) * d

a(m) = a1 + (m-1) * d

Ezekbe behelyettesítem a megadott adatokat:

a(3) = 9 = a1 + (3-1) * d

a(5) = 13 = a1 + (5-1) * d

Tehát:

9 = a1 + 2 * d

13 = a1 + 4 * d

Ez egy kétismeretlenes egyenlet rendszer, ezt többféleképpen is megoldhatod, ebből egyet mutatok be.

Mindkettőt átrendezem, hogy a1 legyen az egyik oldalon.

a1 = 9 - 2*d

a1 = 13- 4*d

Ezek egymással egyenlőek:

9-2*d = 13-4*d /+4*d -9

2*d=4

d = 2

Ezt behelyettesítem az egyik kiinduló képletbe, vagyis:

an=a1+(n-1)*d

9=a1+(3-1)*2

a1=5

Számtani sorozat első n tagjának összege: (és ennek a képletnek a további átalakítása a korábbi képlet alapján)

S(n)=(a1+an)/2 * n = (a1+a1+(n-1)*d)/2 * n =

(2*a1+(n-1)*d)/2 *n

A kérdés az első n tag összege, az a1-et meg a d-t pedig az előbb leírtam, hogy határozod meg, tehát már csak ebbe a képletbe kell behelyettesíteni.

S(5)= (2*5 + (5-1)*2)/2 * 5 = 18/2*5=45

Mértani sorozat:

a(n)= a1 * q^(n-1)

Ha ismered a(n) és q. Akkor ugye 'n' is tudod.

A mértani sorozat 3. eleme 18, a q = 3

18 = a1 * 3^(3-1)

Abből csak az a1-et nem ismered.

18 = a1 * 3^2

18 = a1 * 9

a1 = 2

Ha ismered a(n) és a(m)

A mértani sorozat 3. tagja 18, az 5. tagja 162.

Ekkor kérdés lehet, hogy mennyi 'a1' és 'q'.

Az elején felírt képlet szerint:

a(n) = a1 * q^(n-1)

a(m) = a1 * q^(m-1)

Ezekbe behelyettesítem a megadott adatokat:

a(3) = 18 = a1 * q^(3-1)

a(5) = 162 = a1 * q^(5-1)

Tehát:

18 = a1 * q^2

162 = a1 * q^4

Ez egy kétismeretlenes egyenlet rendszer, ezt többféleképpen is megoldhatod, ebből egyet mutatok be.

Mindkettőt átrendezem, hogy a1 legyen az egyik oldalon.

a1 = 18/q^2

a1 = 162/q^4

Ezek egymással egyenlőek:

18/q^2 = 162/q^4 /*q^4 :18

q^2 = 9

Tehát a q vagy -3 vagy +3

(Ha úgy adtam volna meg az elemeket, hogy itt a végén mondjuk nem q^2, hanem q^3 marad, akkor annak csak gy megoldása lett volna, de a páros kitevő miatt a pozitív és a negatív is jó.)

Mindkét esetben behelyettesítek valamelyik képletbe, pl a(n)-be.

HA q = 3

a(n) = a1 * q^(n-1)

18 = a1 * 3^2

a1 = 2

HA q = -3

a(n) = a1 * q^(n-1)

18 = a1 * (-3)^2

a1 = 2

Mivel a képletben ahova behelyettesítek a q páros hatványon van, ezért itt nem látszik a különbség, de ez két külön sorozat, hiszen nem mindegy, hogy q pozitív vagy negatív:

Az előbbi sorozat 2, 6, 18, 54, 162...

Az utóbbi sorozat 2, -6, 18, -54, 162...

Mértani sorozat első n tagjának összege:

S(n) = (a1*(q^n-1))/(q-1)

Behelyettesítem először: a1 = 2, q = 3, n = 5

S(5) = 2*(3^5-1)/(3-1) = 2*242/2=242

Behelyettesítem: a1 = 2, q = -3, n = 5

S(5) = 2 *((-3)^5-1)6/(-3-1) = 2* (-243-1)/-4= -488/-4 = 122

Az n-et úgy tudod megadni, ha olyan feladatod van, amiben a korábbi egyenletek közül csak n hiányzik és akkor úgy ki tudod számítani.

Pl. a számtaninál:

a1 = 5, d = 2, n = ?

a(n) = 19

a(n) = a1 + (n-1)*d

19 = 5 + (n-1) * 2 /-5

14 = (n-1) *2 /:2

7 = n-1 /+1

8 = n

Pl. a mértaninál:

a1 = 2, q = 3, n = ?

a(n) = 1458

a(n) = a1 * q^(n-1)

1458 = 2 * 3^(n-1) /:2

729 = 3^(n-1) (729 = 3^6)

3^6 = 3^(n-1)

6 = n-1 /+1

7 = n

Remélem sikerült minden kérdésre válaszolni. :)