Egy sorozat határértékét hogyan lehet definíció alapján bizonyítani?

"definíció alapján bizonyítani" Én így gondolom:

https://www.youtube.com/watch?v=GbUWxxi3rz4

Határérték definíciója:

"A szám a sorozat határértéke, ha minden ε>0 esetén létezik olyan N természetes szám, melyre minden n>N esetén |xn – A| < ε."

A definíció szerinti bizonyítás azt jelenti, hogy adott ε-hoz meg kell mondani, mi a nagy N.

5n/(n+3) = (5n+15 - 15) /(n+3) = 5 - 15/(n+3)

Megsejtjük, hogy a sorozat határértéke 5, A=5.

Ahhoz, hogy ezt bizonyítsuk meg kell keresni az N-t.

|xn – A| < ε

|xn-A| = 15/(n+3), azaz

15/(n+3) < ε

Átrendezve:

(15/ε - 3) < n

Vagyis N választható [15/ε - 3]+1 = [15/ε - 2] -nek ([]: egészrész)

Helyettesítsük vissza:

minden n>[15/ε - 2]-re:

|xn – A| = 15/(n+3) < 15/([15/ε - 2]+3)= 15 / ([15/ε+1]) < 15 / (15/ε) = ε

15 / ([15/ε+1]) < 15 / (15/ε), mert

[15/ε+1] >= 15/ε, ha a nevezőbe kisebb számot írunk a tört értéke nő.

Mivel bármely ε-hoz található ilyen N szám, így az 5 valóban határértéke a sorozatnak.

Egy másik lehetőség; vegyük a határérték egy € környezetét, vagyis most csak azokra a tagokra koncentrálunk, amelyek 5+€ és 5-€-ban vannak benne. Ha van olyan tag, amely után az összes többi tag ebbe az intervallumba esik, akkor tényleg 5 a határérték, tehát ezt az egyenlőtlenséget kell megoldani:

5-€ <= 5n/(n+3) <= 5+€, ha ebből kivnjuk az 5-öt:

-€ <= 5n/(n+3) -5 <= €, ezzel visszajutottunk az előbbi hozzászólásban levezetett egyenlőtlenséghez, viszont máshonnan indultunk.